Разложение в ряд Маклорена.
Пример.
Разложить в ряд
Маклорена:
. . . . .
Разложение в ряды элементарных функций.
сходятся к
породившей функции для любого x
Биноминальный ряд:
сходится
к биному при
.
- сходится при
- сходится при
.
Пример.
Разложить в ряд.
1-
Пример.
Разложить в ряд.
Т.к.
=
,
то разложим в ряд подынтегральную
функцию и проинтегрируем почленно:
=
Приложение степенных рядов. Использование рядов для приближенных вычислений.
Пример 1.
Вычислить с точностью до
.
Разложим в ряд ln
(1+x)=
x
-
,
тогда
- ряд знакочередующийся,
и
, значит, ряд сходится по т. Лейбница и остаток меньше первого отброшенного члена.
Пример 2. Вычислить с точностью до 0,001.
Разложим в ряд бином:
=
1+
- ряд знакочередующийся,
и остаток меньше первого отброшенного члена ряда.
Использование рядов для приближенного вычисления интегралов.
Пример. Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,01.
=
=1
;
по
т. Лейбница ряд сходится
и остаток меньше первого отброшенного члена ряда.
Применение рядов для решения дифференциальных уравнений.
н.у.
(1)
(2)
(3)
Т.к.
в (1)
Т.к.
Получим
,
тогда
Т.к. разложение в ряд осуществляется единственным образом, а справа стоит 0, то коэффициенты полученного ряда должны быть равны нулю.
Окончательно получим:
