Тема 3. Многокритериальная оптимизация

Программа Задачи многокритериальной оптимизации, их основное отличие от однокритериальных. Решения оптимальные по Парето. Лицо принимающее решение и эксперты, их роль в принятии решения. Веса критериев. Количественные методы решения: функция ценности в аддитивной и мультипликативной форме. Метод главного критерия. Метод идеальной точки. Понятие метрики. Достоинства и недостатки указанных методов

Основные понятия и определения.

Как правило, математические модели, формализующие свойства определенной производственной ситуации, позволяют получить строгое оптимальное решение при конкретной, четко поставленной цели, описываемой единственным критерием оптимальности. Возможные варианты решения обычно оцениваются с различных точек зрения. Чаще всего имеется несколько целей и соответствующие им критерии оптимальности. На практике однокритериальные задачи встречаются редко, реальным является наличие у человека или организации задачи, которую оценивают одновременно несколько критериев.

Например, сложной многокритериальной задачей являются выбор проектного (технического) решения строительства горного предприятия, где наряду с экономическими показателями следует учитывать вопросы надежности и безопасности, экологии, трудность эксплуатации и строительства, сроки осуществления проекта.

Другие сложные многокритериальные задачи - оценка работы предприятий, размещение объектов жилой застройки, подбор кандидата на должность, распределение средств (ассигнований на научные исследования, капитальных вложений, фонда развития производства и др.) между различными объектами и т.д.

В этих случаях необходимо указать систему величин, характеризующих качество каждого из возможных решений:

(3.1)

где Z – множество допустимых вариантов - альтернатив (пространство переменных),

z – допустимый вариант – альтернатива (переменные модели),

r  количество критериев.

Такая запись условна: в отличие от обычной оптимизационной задачи (r=1), в которой было необходимо найти , максимизирующее значение единственного показателя, в многокритериальном случае такая запись означает лишь, что желательным является увеличение каждого из показателей (при неизменном значении других). Т.о. возникает проблема оптимизации принимаемых решений сразу по нескольким критериям. Эту проблему решают с помощью теории выбора и принятия решений.

Отличительная особенность многокритериальных задач  наличие неопределенности, связанной с необходимостью сопоставления решений по нескольким критериям. Эта неопределенность проявляется в том, что, сравнивая два варианта решения задачи в условиях многокритериальной оптимизации, как правило, нельзя однозначно прийти к выводу, какой вариант лучше. В отличие от этого в задачах однокритериальной оптимизации, можно однозначно прийти к выводу какой из двух вариантов лучше (или эти варианты равноценны).

Пример 3.1. Задача однокритериальной оптимизации.

Рассмотрим известную задачу о составлении оптимального плана выпуска продукции некоторым предприятием. Пусть предприятие может выпускать продукцию двух (А и В) видов, при этом реализации продукции вида А дает прибыль в 3 у.е., а вида В – 5 у.е. В качестве критерия качества плана примем общую прибыль K(z) от реализации всей продукции.

, где и объемы продукции видов А и В соответственно.

Для сравнения двух допустимых плана z₁=(2,4) и z₂=(4,2) вычислим общую прибыль для каждого из вариантов:

Поскольку , то приходим к однозначному выводу что, план z₁ лучше плана z₂.

Пример 2. Задача многокритериальной оптимизации.

Имеется 4 участка под индивидуальную жилую застройку.

Необходимо по фактическим значениям критериев имеющихся участков определить их предпочтительность. В число критериев входят:

1. расстояние от городской черты S, км;

2. привлекательность застройки (живописный ландшафт, наличие исторических памятников) А, балл;

3. цена участка (условные единицы)  Р, у.е..

В табл.3.1 приведены значения критериев. Очевидно, что первый и третий критерии желательно минимизировать, второй – максимизировать.

Таблица 3.1.

№ участка	Расстояние от городской черты - S, км	Привлекательность застройки - A, балл	Цена участка-P, у.е.
1	20	6	3,5
2	30	10	2,0
3	50	7	0,5
4	45	8	1,0

Анализируя предложенную таблицу, заметим, что в ней отсутствует вариант одновременно наилучший по всем критериям (так называемый, доминирующий). Вариант 1  наилучший по первому критерию (S ), вариант 2  по второму (A  ) и вариант 3  по третьему (Р  min). Вариант 4 не является оптимальным ни по одному из критериев, но по всем из них стоит на втором месте, т.е. компромиссный.

Обычно решение задачи многокритериальной оптимизации заключается в поиске наилучшего компромиссного решения. В области компромиссных решений нельзя достигнуть одновременного улучшения решения по всем критериям. Область компромиссов является областью оптимальных решений по Парето.

Введем вектор показателей

K(z)=(K₁(z), K₂(z),…, K_r(z)),

составленный из значений критериев, при этом каждому допустимому варианту решения (альтернативе) соответствует свой вектор.

Определение.

Вектор значений показателей K* из области допустимых значений называют эффективным или оптимальным по Парето, если не существует другой такой точки в области допустимых значений, которая по всем параметрам была бы не хуже K* и превосходила его хотя бы по одному.

Выделение решений, оптимальных по Парето, обычно позволяет сократить количество рассматриваемых альтернатив.

Пример 3.3.

Предположим, что сопоставляются 7 вариантов решений (альтернатив) по двум критериям К₁ и К₂, которые надо максимизировать (табл.3.2). На рис.3.1 представлена геометрическая интерпретация альтернатив.

Таблица 3.2.

Варианты	K1	K2
1	1	5
2	2	6
3	3	3
4	4	4
5	4	5
6	5	3
7	7	4

Рис.3.1

Альтернативы 2, 5, 7 являются оптимальными по Парето, т.к. по обоим критериям лучше их нет. В то же время альтернативы 1, 3, 4, 6 не входят в множество Парето, т.к., например, лучше альтернативы 1 по обоим критериям альтернатива 2, альтернатива 3 лучше 5, а 7 - лучше альтернативы 6. Альтернатива 4 не входит в множество Парето, т.к. альтернатива 5 не хуже ее по первому критерию и лучше по второму.

Выделение решений, оптимальных по Парето, позволило сократить количество рассматриваемых альтернатив с семи до трех.

Отметим, что для примера 3.2. область решений оптимальных по Парето совпадает с исходным заданным множеством, число вариантов сократить не удалось.

При решении задач такого типа следует различать лицо (группу лиц), для которого эта задача решается и группу лиц, с помощью которых она решается.

Лицом, принимающим решение (ЛПР), является человек компетентный и опытный в своей области, наделенный необходимыми полномочиями, имеющий цель, послужившей основой для постановки и формализации задачи, принимающий решение и несущий за него ответственность.

Эксперт  специалист, имеющий информацию о рассматриваемой проблеме и дающий оценки отдельным вариантам ее решения, но не несущий непосредственной ответственности за его принятие.

Для уменьшения роли субъективного фактора используют мнение не одного лица, а группы лиц - экспертов. Экспертов привлекают также для решения сложных проблем, когда ЛПР непосредственно не обладает всей информацией, необходимой для принятия решений. Для получения информации в этих случаях привлекают экспертов, обладающих глубокими специальными знаниями по отдельным аспектам (критериям оценки) изучаемой проблемы. При этом ЛПР определяет состав критериев, формирует требования к ним, дает оценки альтернативам, основываясь на мнениях экспертов.

Эксперт фактически назначает веса для критериев, которые показывают относительную значимость каждого критерия. Чем большее значение придается i-ому критерию, тем большее значение придается w_i . Веса используются при решении задачи различными методами.