Количественные методы решения многокритериальных задач

Основная идея количественных методов - введение единственного комплексного критерия оптимальности (функции ценности). Это позволяет свести проблему векторной оптимизации к одномерной (скалярной, одноцелевой) и, следовательно, однозначно оценить сравниваемые альтернативы.

Аддитивная и мультипликативная функции ценности

Функция ценности может быть построена в аддитивной (наиболее часто) или мультипликативной (реже) форме.

Положительным моментом введения функции ценности является (как правило), возможность определения единственного оптимального варианта решения.

Недостатки:

1. Трудности (субъективизм) в определении весовых коэффициентов.

2. Введение функция ценности не вытекает из объективной роли частных критериев и поэтому выступает как формальный математический прием.

3. Происходит взаимная компенсация частных критериев, т.е. уменьшение одного из них может быть компенсировано увеличением другого критерия.

Аддитивный метод в теории многокритериальной оптимизации принято называть свертыванием критериев.

Для соизмерения различных целей устанавливают относительные «веса» критериев, показывающие взаимоотношения между их шкалами, т.е. их важность. Чаще всего используется линейная функция ценности, которая вычисляется следующим образом

(3.2)

где i- индекс критерия оптимальности, i=1,2,.. r;

w_i – вес (важность) i-го критерия.

Обычно используются относительные веса, т.е. ;

K_i- значение i-го критерия, если K_i – целые числа, метод является балльным.

Если в формуле (3.2) в качестве K_i берутся сами частные критерии, то возникает проблема размерности. Поэтому целесообразно от значений частных критериев перейти к нормированным значениям.

Существуют различные способы перехода:

1. В качестве нормирующих делителей принимаются директивные значения параметров или критериев, заданные заказчиком. Считается, что значения параметров, заложенные в техническом задании, являются оптимальными или наилучшими.

2. В качестве нормирующих делителей принимаются максимальные (минимальные) значения критериев, достигаемые в области допустимых решений.

Нормированные значения вычисляются по формуле:

(3.3)

где - соответственно максимальное и минимальное значения i-го критерия.

Знаменатель данной формулы  длина шкалы, а числитель – положение критерия на ней. В этом случае значения нормированных критериев лежит между 0 и 1.

В дальнейшем в данной работе будем использовать нормированные значения, полученные по формуле (3.3).

Для примера 3.2 таблица, с использованием нормированных значений критериев, преобразуется к следующему виду:

Таблица 3.3.

Нормированные значения критериев

№ участка	S	A	P
1	0,00	0,00	1,00
2	0,33	1,00	0,50
3	1,00	0,25	0,00
4	0,83	0,50	0,17

Размерности самих частных критериев и соответствующих нормирующих делителей одинаковы, поэтому в итоге обобщенный аддитивный критерий получается безразмерной величиной.

Для мультипликативной функции оценка вычисляется по формуле:

(3.4)

Как правило, нормированные значения критериев не используются для мультипликативной функции.

В функциях ценности, как для мультипликативной, так и аддитивной формы, учитывается знак критерия. Например, если критерий учитывает отрицательные свойства продукции, то он входит в функцию ценности со знаком «минус».

В мультипликативной функции ценности при решении задач максимизации в числителе отражаются критерии, значение которых желательно увеличить, а в знаменателе те, значение которых желательно уменьшить. Например, типичный мультипликативный критерий – показатель рентабельности (отношение прибыли к фондам).

При решении стохастических задач можно учитывать вероятности достижения определенных целей (значений критерия) – Р_i. Тогда ценность альтернативы определяется по формуле (3.5).

(3.5)

В прямых методах зависимость общей ценности (полезности) альтернатив от их значений по отдельным критериям известна или постулируется экспертами непосредственно заранее. При этом «вес» критерия может быть определен на основании специальных исследований (например, экономико-статистических), прошлого опыта или определен экспертами по каким-либо другим соображениям.

Учитывая ограниченность аналитических и статистических методов, «весовые» коэффициенты чаще всего устанавливают волевым путем, что привносит элемент субъективизма в решение задачи. Отметим, что существуют определенные методы, уменьшающие долю субъективизма (например, метод Саати). В случае неудовлетворенности полученным решением, ЛПР может изменить «весовые» коэффициенты.

Рассмотрим использование аддитивной целевой функции для задачи сопоставления четырех вариантов под индивидуальную застройку по трем критериям при определенных значениях «весовых» коэффициентов (пример 3.2).

Предположим, что на основании статистических исследований установлены следующие «весовые» коэффициенты w₁ =0,3; w₂=0,5; w₃=0,2. Тогда функции ценности для четырех альтернатив соответственно составят (следует учесть, что увеличение параметров S и R отрицательно влияют на ценность альтернатив, поэтому они учитываются со знаком «минус»).

Как видно, наивысшую ценность имеет альтернатива 2. Отрицательные значения ценности не должны приниматься во внимание, ибо нас интересует только сравнительная ценность альтернатив. Наличие отрицательных значений еще раз показывает условность функции ценности, отсутствие у неё в большинстве случаев реального экономического и технологического смысла.

При аксиоматических методах «весовые» коэффициенты функции ценности определяются на основе предпочтений ЛПР.