Метод идеальной точки

Особую разновидность количественных методов решения многокритериальных задач представляют те, в которых ценность альтернатив определяется не на основе агрегирования оценок по отдельным критериям (построения функции ценности), а путем определения меры близости решения к некоему идеальному (так называемой точке идеала, или идеальной точке). Т.е. решение должно обеспечивать наибольшее приближение к множеству одновременно недостижимых целей. В этом случае решается так называемая задача целевого программирования

(3.7)

где К- векторная функция значения отдельных критериев К_i (i=1,r);

b - r-мерный вектор, характеризующий идеальную точку, т.е. включающий желательные (идеальные) значения отдельных критериев;

d – расстояние между K и b (т.е. между критериями, характеризующими полученное и идеальное решения), определенное на основании какой-либо метрики.

В задаче целевого программирования функционал (3.7) имеет содержательный смысл; он характеризует меру близости полученного решения к идеальному (т.е. расстояние между ними).

Параметры идеальной точки (т.е. желательные значения критериев) определяются ЛПР или вышестоящим органом. Часто в качестве координат идеальной точки берутся максимальные (или минимальные) значения отдельных критериев. В этом случае идеальная точка соответствует наилучшему достижению одновременно всех поставленных целей.

При определении расстояния d может быть учтена относительная важность критериев. В этом случае в целевую функцию вводятся «весовые» коэффициенты w_i (w_i= 1, когда «веса» не вводятся). Введение «весового» коэффициента соответствует изменению масштаба шкал критериев.

Данный метод используется при различных метриках, функциях расстояния. В общем случае

(3.8)

где b_i – желательное значение i-го критерия;

S – характеристика метрики.

При S =2 вычисляется евклидово расстояние

d(K,b) = . (3.9)

Обычно при этом решают задачи квадратичного программирования

где - разность идеального и реального значений по i-ому критерию.

При S= 1 задача сводится к минимизации суммарного модуля относительных (с учетом «веса») отклонений.

При S = имеем равномерную метрику, и задача целевого программирования сводится к минимизации максимального относительного отклонения, т.е.

-

имеем минимаксную целевую функцию.

Перед решением задачи обычно производится нормирование значений критериев по формуле (3.3).

Если в качестве идеальной точки используется точка с наилучшими значениями критерия, то нормированные значения ее координат равны единице – для критериев, которые надо увеличивать, и нулю – для критериев, которые надо уменьшать.

Когда количество альтернатив ограничено и их параметры известны, задача целевого программирования может решаться без привлечения ЭВМ. Если же исходное множество альтернатив задано какой-либо математической моделью, то метод целевого программирования обычно используется в составе человеко-машинных процедур.

Проиллюстрируем использование методов целевого программирования для примера 3.2 по трем критериям (метрикам). Будем использовать нормированные значения критериев (табл.3.3). Значения нормированных критериев, приведены в B19:E23, для идеальной точки в ячейках C17:E17. (рис.3.3).

Предположим, что “весовые” коэффициенты расстояний для различных критериев соответственно равны 0,3; 0,5; 0,2 (ячейки С14:Е14).

На рис.3.3 приведены расчеты по определению расстояний до идеальной точки для трех различных метрик (ячейки B27:E31). В данном примере лучшим вариантом является альтернатива 2.

Рис.3.3 Фрагмент листа MS Excel