5.4. Топологические методы анализа надежности

Топологическими будем называть методы, которые позволяют определить показатели надежности либо по графу состояний, либо по структурной схеме системы, не составляя и не решая уравнений. Топологическим методам посвящен ряд работ [84,147], в которых описаны различные способы их практической реализации. В настоящем разделе излагаются методы, позволяющие определить показатели надежности по графу состояний.

Топологические методы дают возможность вычислять следующие показатели надежности:

- Р(t) — вероятность безотказной работы в течение, времени t;

- T₁, — среднее время безотказной работы;

- К_г(t) — функцию готовности (вероятность того, что система исправна в любой произвольный момент времени t);

- К_г = — коэффициент готовности;

T — наработку на отказ восстанавливаемой системы.

Топологические методы имеют следующие особенности:

- простота вычислительных алгоритмов;

- высокая наглядность процедур определения количественных характери­стик надежности;

- возможность приближенных оценок;

- отсутствие ограничений на вид структурной схемы (системы, восстанавливаемые и невосстанавливаемые, нерезервированные и резервированные с любым видом резервирования и любой кратностью).

В настоящей главе будут рассматриваться ограничения топологических методов:

- интенсивности отказов и восстановления элементов сложной системы являются величинами постоянным»;

- временные показатели надежности, такие как вероятность безотказной работы и функция готовности, определяются в преобразованиях Лапласа;

- трудности, в ряде случаев непреодолимые, при анализе надежности сложных систем, описываемых многосвязным графом состояний.

Идея топологических методов состоит в следующем.

Граф состояний является одним из способов описания функционирования системы. Он определяет вид дифференциальных уравнений и их количество. Интенсивности переходов, характеризующие надежность элементов и их восстанавливаемость, определяют коэффициенты дифференциальных уравнений. Начальные условия выбираются кодированием узлов графа.

В графе состояний содержится вся информация о надежности системы. А это является основанием считать, что показатели надежности могут быть вычислены непосредственно по графу состояний.

5.4.1. Определение вероятностей состояний системы

Вероятность застать восстанавливаемую систему в состоянии i в фиксированный момент времени t в преобразовании Лапласа может быть записана в следующем виде:

где Δ(s) — главный определитель системы дифференциальных уравнений, записанной в преобразованиях Лапласа; Δ_i(s) — частный определитель системы.

Из выражения (5.13) видно, что P_i(s) будет определена, если из графа состояний будут найдены степени тип полиномов числителя и знаменателя, а также коэффициенты B_ij (j = 0,1,2,..., m) и А_i (i = 0,1, 2,..., n-1).

Первоначально рассмотрим методику определения P_i(s) графа состояний только таких систем, в графе состояний которых отсутствуют переходы через состояния. К ним относятся все неизбыточные системы, резервированные системы при общем резервировании с целой и дробной кратностью, резервированные системы любой структуры с обслуживанием отказавших устройств в последовательности, обратной их поступлению в ремонт. К указанному классу систем относятся также некоторые резервированные системы с равнонадежными устройствами при различной дисциплине их обслуживания.

Функционирование системы описывается дифференциальными уравнениями, число которых равно числу узлов графа. Это значит, что главный определитель системы Δ(s) в общем случае будет полиномом n-й степени, где n — число узлов графа состоянии. Легко показать, что полином знаменателя не содержит свободного члена. Действительно, т.к. то знаменатель функции P_i(s) должен содержать s в качестве сомножителя, в противном случае финальная вероятность P_i(∞) будет равна нулю. Исклю­чением являются случаи, когда число ремонтов ограничено.

Степень полинома числителя Δ_i находится из выражения:

m_i = n - 1 – l_i,

где n — число узлов графа состояний; l_i — число переходов из начального состояния системы, определенного начальными условиями ее функционирования, в состояние i по кратчайшему пути.

Если начальным состоянием системы является состояние, когда все устройства исправны, то l_i — номер уровня состояния i, т.е. l_i равно минимальному числу отказавших устройств системы в состоянии i. Таким образом, степень полинома числителя вероятности Р_i(s) пребывания системы в i-м состоянии зависит от номера состояния i и от начальных условий. Так как число переходов l_i может быть 0,1,2,..., n-1, то степень полинома Δ_i(s) на основании (5.14) также может принимать значения m_i = 0,1,2,..., n-1.

Коэффициенты А_i и B_j, зависящие от интенсивностей переходов, определяются из графа состояний по следующим правилам.

Коэффициент при s^n-1 всегда равен единице, т. е. А₀ = 1. Коэффициент А₁ равен сумме всех интенсивностей переходов в графе состояний. Коэффициент А₂ равен сумме всех попарных произведений интенсивностей переходов, за исключением членов вида а_i,j· а_i,j а_j,i и а_i,j а_i,k. Интенсивности переходов а_i,j и а_j,i находятся в ветвях, образующих контуры, а интенсивности а_i,j и а_i,k — в ветвях, исходящих из i-го узла. Коэффициент А_i (i = 3, 4,..., n-1) равен сумме произведений интенсивностей переходов, взятых по i, за ис­ключением тех произведений, в которые входят одновременно интенсивности переходов ветвей, образующих контуры и исходящих из одного и того же узла. Такие члены легко определить по графу состояний.

Следует иметь в виду, что главный определитель системы Δ(s) не зависит от начальных условий, а поэтому сформулированное правило определения коэффициентов А_i полинома знаменателя справедливо при любых начальных условиях решения задачи.

Коэффициенты полинома числителя В_ij (j=0,1,...,т) находятся из выражений для коэффициентов А_i полинома знаменателя при соответствующих степенях s. Коэффициент В_ij при s^{т - j} равен сумме только тех слагаемых коэффициента А_i при s той же степени, у которых:

- содержатся произведения всех интенсивностей переходов из начального состояния системы, определенного начальными условиями решения задачи, в состояние i по кратчайшему пути;

- отсутствуют интенсивности переходов из i-го состояния.

ПРИМЕР 5.18. Необходимо определить вероятности всех состояний системы (рис. 5.23). Систему обслуживают две бригады. Предполагается также, что начальными условиями функционирования системы являются: Р₀(0) = 1, Р₁(0) = Р₂(0) = Р₃(0) = 0.

Решение. Граф состояний системы изображен на рис. 5.24.

Определим сначала полином знаменателя вероятностей Р_i(s) (i = 0,1,2,3), т. к. он является общим и не зависит от i.

Из графа рис. 5.24 видно, что система может находиться в четырех состоянияx, поэтому п = 4 . Тогда

На основании сформулированного выше правила находим коэффициенты полинома.

Коэффициент А₀=1. Коэффициент А₁ равен сумме всех интенсивностей переходов, указанных на рис. 5.24, поэтому А₁ = 5λ + 4μ.

В выражении для коэффициента А₂ будут отсутствовать члены а₀₂а₂₀, а₀₁а₁₀, а₁₃а₃₁, т.к. они являются произведениями интенсивностей, находящихся в ветвях, образующих контуры. Не будет также членов вида а₀₂а₀₁, а₁₀а₁₃, являющихся произведениями интенсивностей переходов из одного и того же узла (0 или 1). Тогда

В выражении для коэффициента А₃ будут отсутствовать слагаемые вида а₀₂а₂₀, а₀₁а₁₀, а₁₃а₃₁, а₀₂а₀₁, а₁₀а₁₃, …. Перебор всех возможных комбинаций интенсивностей переходов по три показывает, что коэффициент А₃ имеет лишь четыре слагаемых:

Найдем теперь полиномы Δ_i. Степень полинома Δ₀ будет: m₀=п-1-l₍₎ = 4-1-0 = 3.

Тогда Δ₀(s) = В₀₀ s³+ В₁₀ s²+В₂₀ s + В₃₀. Так как степень полинома Δ₀(s) совпадает со степенью полинома Δ(s)/s, то коэффициент В₀₀ определяется из коэффициента А₀, В₁₀ — из А₁, В₂₀ — из А₂, В₃₀ — A₃. На основании сформулированного выше правила коэффициенты В_j0 не должны содержать слагаемых, в которые входят в качестве сомножителей интенсивности переходов из состояния 0, т. е. интенсивности а₀₁ и а₀₂. Исключая эти слагаемые из выражений для А_i, получим:

Подставляя значения коэффициентов в выражение для определителей, получим:

Степень полинома Δ₁ будет т₁ =п-1-l₁ = 4-1-1 = 2, т.е. Δ₁ = В₀₁ s² + В₁₁ s + В₂₁. Тогда коэффициент В₀₁ определяется из коэффициента А₁, В₁₁ – из А₂, В₂₁ – из А₃.

Коэффициенты В_j1 не должны содержать слагаемых, в которые входят в качестве сомножителей интенсивности переходов из состояния (1), т.е. интенсивности а₁₀. а₁₃. Коэффициенты В_j1 должны содержать только те слагаемые, соответствующие А_i, которые содержат в качестве сомножителя произведения интенсивностей перехода из начального состояния (0) в состояние (1), т.е. интенсивность а₀₁. Исключая указанные слагаемые из выражений для А_i, получим:

Тогда

Степень полинома Δ₂(s) будет m₂ = п-1-l₂ =4-1-1 = 2, т. е. Δ₂=В₀₂s² + В₁₂s + В₂₂. В данном случае коэффициенты В_j2 не должны содержать слагаемых, в которые входит интенсивность перехода из состояния (2), т. е. интенсивность а₂₀, кроме того, В_j2 должны содержать только те слагаемые коэффициентов А_i, которые содержат в качестве сомножителя интенсивность а₀₂. Исключая из А_i указанные слагаемые, получим:

Тогда

Степень полинома Δ₃(s) будет т₃ =п-1-l₃ = 4-1-2 = 1, т.е. Δ₃(s) = В_0З s + В_1З. Коэффициенты В_0З и В₁₃ не должны содержать слагаемых, в которые входит интенсивность перехода из состояния (3) в состояние (1), т.е. интенсивность а₃₁, кроме того, они должны иметь только те слагаемые коэффициентов А_i, которые содержат в качестве сомножителя произведения интенсивностей перехода из состояния (0) в состояние (3), по кратчайшему пути, т. е. произведение а₀₁а₁₃.

Исключая указанные слагаемые из А_i, получим:

Тогда

ПРИМЕР 5.19. Необходимо определить вероятности всех состояний системы (рис. 5.23). Предполагается, что начальными условиями функционирования системы являются:

Отличие примера 5.19 от примера 5.18 состоит в том, что здесь изучаются закономерности функционирования системы с момента, когда отказал один из резервных элементов, т. е. с момента, когда система находится в состоянии 1.

Решение. Так как главный определитель системы не зависит от начальных условий, то полином знаменателя будет тем же, как и в примере 5.18. Определим полиномы Δ_i(s). Степень полинома Δ₀(s) будет m₀=n-1-l₀ = 4-1-1 = 2. Здесь l₀=1 потому, что из состояния (1), в котором находится система в начале функционирования, в состояние (0) она переходит в результате однократного изменения состояния. Тогда

Коэффициенты В_j0 здесь не должны содержать слагаемых, в которые в виде сомножителя входят интенсивности перехода из состояния (0), т. е. интенсивности а₀₁ и а₀₂, кроме того, они должны иметь только те слагаемые коэффициентов А_i, в которые входит в качестве сомножителя интенсивность перехода из состояния (1) в состояние (0), т. е. интенсивность а₁₀.

Исключая указанные сомножители из соответствующих коэффициентов А_i, получим:

Тогда

Степени остальных полиномов будут:

Тогда

Коэффициенты В_j1 полинома Δ₁(s) не должны содержать слагаемых, в которые в качестве сомножителя входят интенсивности а₁₀, а₁₃.

Коэффициенты В_j2 полинома Δ₂(s) не должны содержать слагаемых, в которые в качестве сомножителя входит интенсивность а₂₀. Кроме того, коэффициенты В_j2 должны содержать только те слагаемые соответствующих коэффициентов А_i, в которые входит произведение интенсивностей а_10·а₀₂. Коэффициенты В_j3 полинома Δ₃(s) не должны содержать слагаемых, в ко­торые в качестве сомножителей входят интенсивности а₃₁. Кроме того, коэффициенты В_j3 должны содержать только те слагаемые коэффициентов А_i, в которые входит в качестве сомножителя интенсивность а₁₃.

Выполнив очевидные преобразования над коэффициентами полинома знаменателя функции Р_i(s) и элементарные вычисления, получим: