5.1.7. Описание функционирования системы с помощью интегральных уравнений

Описание функционирования системы с произвольными законами распределения времени до отказа и времени восстановления элементов состоит в следующем:

- определяются все состояния системы и переходы между состояниями;

- для каждого состояния определяется вектор состояний элементов системы;

- вводится неизвестная функция, соответствующая каждому состоянию системы;

- составляется система интегральных уравнений.

ПРИМЕР 5.5. Составить систему интегральных уравнений, описывающую функционирование системы, граф состояний которой приведен на рис. 5.7, г. Плотность распределения времени до отказа i-го элемента равна f_i(t), а плотность распределения времени восстановления i-го элемента — g_i(t). В момент времени t = 0 система считается полностью исправной.

Решение. Состояния системы и переходы между состояниями показаны на графе на рис. 5.7, г. Рассмотрим каждое состояние системы. В состоянии (0) оба элемента являются исправными, и этому состоянию соответствует вектор A₀ = (s₁,s₂). Аргументы s₁ и s₂ означают, что, когда система пребывает в состоянии (0), оба элемента являются работоспособными. В состоянии (1) первый элемент восстанавливается, а второй работает. Этому состоянию соответствует вектор А₁ = (τ₁,s₂), в котором аргумент τ₁ соответствует восстановлению первого элемента. В состоянии (2) второй элемент восстанавливается, а первый работает. Этому состоянию соответствует вектор А₂ = (s₁, τ₂) в котором аргумент τ₂ соответствует восстановлению второго элемента. В состоянии (3) оба элемента являются не рабочими, причем согласно принятой дисциплине обслуживания первый элемент восстанавливается, а второй находится в очереди на восстановление. Этому состоянию соответствует вектор А₃ = (τ₁,0). Нулевой аргумент означает простой второго элемента в ожидании, пока не освободится ремонтная бригада, занятая восстановлением первого элемента. В состоянии (4) оба элемента также являются не рабочими. В силу принятой дисциплины обслуживания восстанавливается первый элемент, но при этом не было закончено восстановление второго элемента, и ремонтная бригада переключилась на восстановление первого элемента. Этому состоянию соответствует вектор А₄ = (τ₁, τ₂^’ ). Аргумент τ₂^’ означает, что второй элемент восстанавливался, однако восстановление было прервано отказом первого элемента.

Указанные векторы поместим в матрицу состояний:

Верхняя строка матрицы содержит номера состояний системы, а нижняя строка состоит из нулей и единиц. Значение нижней строки равно 1, если соответствующее состояние системы является работоспособным, и 0, если состояние системы является отказовым.

Каждому i-му состоянию системы сопоставим неизвестную функцию у_i, аргументами которой служат компоненты i-го столбца матрицы S и время t:

Функция y₀(s_1,s_2, t) плотность распределения вероятностей времени пребывания системы в момент t в состоянии (0) при условии, что после момента t первый элемент будет работать время s₁, а второй элемент — время s₂. Функция y₁(τ_1,s_2, t) есть плотность распределения вероятностей времени пребыванш системы в момент t в состоянии (1) при условии, что после момента t первый элемент будет восстанавливаться время τ₁, а второй элемент будет работать в течение времени s₂. Функция y₂(s_1,τ_2, t) есть плотность распределения вероятностей времени пребывания системы в момент t в состоянии (2) при условии, что после момента t первый элемент будет работать время s₁, а второй элемент будет восстанавливаться в течение времени τ₂. Функция y₃(τ₁,0,t) есть плотность распределения вероятностей времени пребывания системы в момент t в состоянии (3) при условии, что после момента t первый элемент будет восстанавливаться время τ₁. Функция y₄(τ₁,τ₂^’,t) есть плотность распределения вероятностей времени пребывания системы в момент t в состоянии (4) при условии, что после момента t первый элемент будет восстанавливаться время τ₁, а остаточное время восстановления второго элемента равно τ₂^’. Таким образом, аргументы функций у_i характеризуют осстаточные времена работы или восстановления элементов.

На основании формулы (4.11) система интегральных уравнений будет иметь вид:

При составлении системы надо учитывать следующее: если аргумент s_i, или τ_i не содержит "штрих", то в правой части под знаком интеграла к такому аргументу добавляется переменная интегрирования; если в аргументах s_i, или τ_i имеется "штрих", то к данному аргументу переменная интегрирования не добавляется. После этого "штрихи" над аргументами могут быть опущены, как это сделано в последнем уравнении.

Решение данной системы уравнений позволяет найти вероятности пребывания системы в каждом состоянии, которые определяются интегрированием соответствующих функций по всем "ненулевым" аргументам:

Решение системы интегральных уравнений позволяет найти также параметры перехода из одного состояния в другое. Чтобы найти параметр перехода из состояния i в состояние j, в функции у_i надо положить нулю аргумент, соответствующий элементу, который вызвал данный переход, и проинтегрировать функцию у_i по остальным аргументам. Например, параметр перехода из состояния (0) в состояние (1) равен а параметр перехода из состояния (3) в состояние (2) равен ω₃₂(t) = y₃(0,0,t).

Здесь указан способ получения вероятностей р_i(t) того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии i. Если нас интересует вероятность первого попадания системы в состояние i, то это состояние надо сделать поглощающим. Например, чтобы найти вероятность безотказной работы системы, запретим выходы из состояний (3) и (4). Тогда изменяются аргу­менты функций у₃ и у₄: y₃(τ₁^’,0,t) y₄(τ₁^’,τ₂^’,t), а система интегральных уравнений преобразуется к виду:

В результате решения данной системы и интегрирования функций у_i получим вероятности исправных состояний и вероятность безотказной работы системы в течение времени t:

P(t) = p₀(t)+p₁(t)+p₂(t).

По известным вероятностям p_i(t) и параметрам переходов ω_ij(t) можно найти любую другую количественную характеристику надежности системы. Это значит, что система интегральных уравнений полностью описывает функционирование восстанавливаемой системы с произвольными законами распределения.

В установившемся режиме функционирования система уравнений (5.4) упрощается незначительно и по-прежнему остается системой интегральных уравнений:

Вероятности состояний и параметры переходов вычисляются так же, как для нестационарного режима.

Система (5.6) имеет бесконечно много решений, и ее следует решать вместе с условием нормировки: