5.1.6. Описание функционирования системы с помощью уравнений типа массового обслуживания

Составить систему дифференциальных уравнений типа массового обслуживания для определения количественных характеристик надежности восстанавливаемой системы можно по виду графа состояний системы.

Сформулируем первоначально правило составления уравнений для определения вероятности пребывания системы в i-м состоянии в момент времени t.

Часть произвольного графа с состояниями i-1, i, i+1 показана на рис. 5.10.

Дифференциальное уравнение для вероятности рi(t) пребывания системы в i-м состоянии в момент времени t будет иметь вид:

Из уравнения видно, что слева пишется производная по времени от вероятности пребывания системы в i-м состоянии в момент времени t, а справа - сумма произведений интенсивностей переходов из всех соседних состояний в i-е состояние и из i-го во все состояния на соответствующие вероятности состояний. Знаки в правой части уравнения определяются по направлению стрелок в ветвях графа. Если стрелка направлена в i-е состояние, то при соот­ветствующей интенсивности перехода ставится знак "+", в противном случае — знак "-". Это правило справедливо при любом числе соседних с i-м состояний.

ПРИМЕР 5.4. Составить систему дифференциальных уравнений, описывающих функционирование системы, граф состояний которой приведен на рис. 5.7, г.

Решение. На основании сформулированного правила и в соответствии с графом состояний система дифференциальных уравнений будет иметь вид:

Написанные ранее уравнения позволяют найти вероятность того, что система в данный момент времени находится в i-м состоянии.

На практике часто приходится определять вероятность того, что в течение времени t система попадает в i-е состояние. Для определения этой вероятности необходимо считать i-е состояние поглощающим и запретить, путем постановки экранов, переходы из i-го состояния во все остальные. Преобразовав, таким образом, граф состояний, записываются дифференциальные уравнения по сформулированному выше правилу.

Для нашего случая состояния (3) и (4) являются отказовыми. Для определения вероятности безотказной работы дублированной системы запретим переход из состояния (3) в состояние (1), а также из состояния (4) в состояние (2). Тогда система (5.1) преобразуется в следующую систему дифференциальных уравнений:

Укажем на одно важное свойство уравнений функционирования системы. Так как сумма всех вероятностей состояний системы равна единице, т. е.

А это значит, что сумма правых частей системы уравнений всегда равна нулю.

Это свойство полезно иметь в виду при проверке правильности составления уравнений функционирования системы.

Дифференциальные уравнения типа массового обслуживания позволяют определить вероятности состояний системы или вероятности попадания в эти состояния в течение времени t. По известным вероятностям р_i(t) можно найти любую другую количественную характеристику надежности системы. А это означает, что система уравнений достаточно полно описывает функ­ционирование восстанавливаемой системы.

В установившемся режиме функционирования вероятности состояний являются величинами постоянными. Тогда все производные равны нулю и система дифференциальных уравнений превращается в систему линейных алгебраических уравнений.

Для случая, рассмотренного в примере 5.4, система дифференциальных уравнений (5.1) превращается в следующую систему алгебраических уравнений:

Эта система является однородной (ноль в правой части каждого уравнения) и имеет бесконечное множество решений. Для получения однозначного реше­ния системы следует использовать нормировочное уравнение

которым заменяется одно любое уравнение системы (5.3).

Анализ способов описания функционирования технических систем позволяет сделать ряд важных выводов.

Существуют, по крайней мере, следующие три способа описания функционирования восстанавливаемых систем:

• схема расчета надежности (структура системы);

• граф состояний;

• система дифференциальных уравнений типа массового обслуживания.

Схема расчета надежности не позволяет в полной мере описать функционирование восстанавливаемой системы, т. к. она не дает возможности учесть дисциплину обслуживания отказавших элементов. Однако она является исходной для построения графа и для составления дифференциальных уравнений функционирования системы.

Описание функционирования восстанавливаемой системы с помощью графа состояний обладает высокой наглядностью. В этом основное преимущество данного способа перед всеми остальными. Граф состояний в ряде случаев дает возможность качественно сравнить различные схемные решения, выбрать наиболее приемлемую дисциплину обслуживания, наметить пути по­вышения надежности систем. Он существенно облегчает процедуру записи дифференциальных уравнений функционирования системы.

Граф состояний достаточно полно описывает функционирование восстанавливаемой системы. По графу состояний наиболее просто найти финальные вероятности пребывания системы в любом i-м состоянии, а также интегральные показатели надежности — наработку на отказ и среднее время восстановления системы. Он позволяет определить также показатели надежности невосстанавливаемых систем.

Функционирование восстанавливаемой системы можно наиболее полно описать системой дифференциальных уравнений. Решая уравнения известными в классической математике методами, можно вычислить любую количественную характеристику надежности. Наличие программ решения системы дифференциальных уравнений на ЭВМ существенно расширяет возможности метода. Однако описание функционирования восстанавливаемой системы с помощью дифференциальных уравнений имеет существенные недостатки.

Метод не обладает наглядностью и требует громоздких вычислений при определении количественных характеристик надежности даже сравнительно простых систем.

Сложные системы имеют большое число состояний (сотни и тысячи). Анализ надежности таких систем путем решения уравнений типа массового обслуживания практически невозможен.

Интенсивности отказов элементов в большинстве практических случаев не являются величинами постоянными. Имеет место старение элементов и, как следствие, λ_i(t)≠const. В таких случаях описание функционирования системы с помощью дифференциальных уравнений типа массового обслуживания невозможно. В этом основной недостаток метода дифференциальных уравнений.

На смену им приходит метод, который в теории надежности называется методом интегральных уравнений.