5.1.5. Формализованный способ построения графа состояний системы

Каждому узлу графа соответствует определенное состояние системы. Совокупность состояний, когда в системе отказало i устройств, будем называть i-м уровнем графа. Тогда при i=0 (нулевой уровень) все устройства исправны, при i = 1 (первый уровень) одно любое устройство отказало, а остальные исправны, при i = 2 (второй уровень) два любых устройства отказали, а ос­тальные исправны, и т. д.

Исходными данными по построению графа являются: структурная схема системы, интенсивности отказов и восстановления, дисциплина обслуживания, вид восстановления. Для удобства построения графа целесообразно элементы структурной схемы нумеровать и указывать значения их интенсивностей отказов и восстановления.

Сущность формализованного способа построения графа состояний системы заключается в следующем.

Проводятся горизонтальные линии, которым присваиваются номера 0,1, 2,... Линия с номером i соответствует i-му уровню графа. Их целесообразно раcполагать в последовательности возрастания номеров. Первой из них присваивается номер 0 (нулевой уровень системы).

Далее строится граф состояний с переходами от верхних к нижним уровням. Назовем их λ-переходами. Для этого на нулевой горизонтальной линии отмечается точкой или кружком нулевой узел графа, соответствующий состоянию системы, когда все устройства исправны. Затем на линии с номером 1 обозначаются все узлы, соответствующие первому уровню графа. Число узлов первого уровня всегда равно числу устройств (элементов) структурной схемы. Соединяя узел нулевого уровня со всеми узлами первого уровня и отмечая стрелками направление переходов, получим неполный граф состояний системы, который назовем графом первого уровня с λ-переходами. Все узлы первого уровня нумеруются в соответствии с номерами элементов (уст­ройств) структурной схемы, а возле ветвей записываются соответствующие интенсивности переходов. Все узлы первого уровня, которые соответствуют отказовым состояниям системы, необходимо отметить (например, квадратом или крестом). Из этих узлов λ-переходы в узлы более высокого уровня графа отсутствуют.

Для построения графа состояний второго уровня с λ-переходами на линии с номером 2 наносятся узлы графа, соответствующие всем возможным состояниям системы, когда отказали два ее устройства. Все узлы нумеруются двухразрядными числами. Двухразрядное число показывает номера отказавших элементов структурной схемы и последовательность их отказов. Например, если узел второго уровня имеет номер 31, то это значит, что в данном состоянии система оказалась в результате отказа первого и третьего элементов структурной схемы, причем первым отказал третий элемент, а вторым — первый. Соединяя ветвями соответствующие узлы первого и второго уровня и отмечая стрелками направления переходов, получим граф состояний системы, который называется графом второго уровня с λ-переходами.

Узлы, соответствующие отказовым состояниям системы отмечаются квадратами или крестами. Из этих узлов переходы в узлы более высокого уровня отсутствуют. Возле ветвей графа записываются соответствующие интенсивности переходов.

Построение графа состояний с λ-переходами заканчивается тогда, когда все узлы в данном уровне будут соответствовать отказовым состояниям системы.

ПРИМЕР 5.3. Необходимо построить граф состояний системы, схема расчета надежности которой приведена на рис. 5.8. Предполагается, что восстановление неограниченно, последействие отказов элементов отсутствует, а элемент 5 находится в ненагруженном резерве и до отказа элемента 4 его интенсивность отказа равна нулю.

Решение. Греф состояний системы приведен на рис. 5.9.

Граф имеет четыре уровня. В исходном нулевом состоянии система исправна и ни один из ее элементов не отказал. Все состояния последнего третьего уровня соответствуют отказовым состояниям системы. При простейшем потоке отказов, удовлетворяющем условиям ординарности, система может перейти из начального нулевого состояния в состояния, когда отказал один любой ее элемент. Эти состояния отмечены на линии уровня 1 цифрами 1, 2, 3, 4 в соответствии с отказавшими элементами структурной схемы. На линии первого уровня отсутствует узел с номером 5. Это объясняется тем, что пятый элемент находится в ненагруженном резерве и по условию задачи отказать до замещения основного четвертого элемента не может. Из структурной схемы видно, что отказ элемента 3 приводит к отказу всей системы. Поэтому узел 3 первого уровня помечен крестом и из этого узла отсутствуют переходы в узлы второго уровня. Отказ одного из элементов 1, 2, 4 не ведет к отказу системы, поэтому из узлов 1, 2, 4 первого уровня имеются переходы в узлы второго уровня.

Из состояния (1) первого уровня возможны переходы в состояния, когда вслед за отказом элемента 1 отказывает либо элемент 2, либо элемент 3, либо элемент 4. Эти состояния на линии второго уровня отмечены соответственно (1,2), (1,3), (1,4). Так как отказ элементов 1,2 или 1,3 ведет к отказу системы, то состояния (1,2) и (1,3) отмечены крестами и из этих состояний отсутствуют переходы в состояния уровня 3. При отказе элементов 1 и 4 отказ системы не наступает, поэтому из состояния (1,4) возможны переходы в состояния третьего уровня. Вслед за отказами элементов 1 и 4 могут отказать элементы либо 2, либо 3, либо 5. Соответствующие состояния расположены на линии уровня 3 и обозначены (1,4,2), (1,4,3), (1,4,5). Так как отказ элементов 1,4,2 или 1,4,3, или 1,4,5 ведет к отказу системы, то все узлы отмечены крестами Остальная часть графа строится аналогично.

Для окончательного построения графа необходимо на графе состояний с λ-переходами изобразить ветви переходов из узлов нижних уровней в узлы верхних уровней. Эти переходы возникают из-за восстановления отказавших элементов. Узлы, соединенные между собой ветвями μ-переходов, легко определить, если известен приоритет в обслуживании отказавших элементов.

Пусть, например, система попала в состояние, отмеченное на линии уровня графа состояний как (1,4,3). И пусть установлен прямой приоритет в обслуживании отказавших элементов (обслуживание элементов осуществляется порядке их отказов). Тогда первым будет восстановлен элемент 1 и система интенсивностью μ₁ перейдет в состояние (4,3) второго уровня. Состояние (4,3) является отказовым, поэтому, пока ремонтируется элемент 4, новых отказов не возникает. После ремонта элемента 4 система перейдет с интенсивностью μ₄ в состояние (3) первого уровня, затем с интенсивностью μ₃ в нулевое состояние. Указанные переходы показаны на рис. 5.9.

Пусть теперь отказавшие элементы обслуживаются с обратным приоритетом, т. е. восстановление элементов осуществляется в порядке, обратном очередности поступления их в ремонт. Тогда из состояния (1,4,3) возможен переход с интенсивностью λ₃ в состояние (1,4), потом с интенсивностью λ₄ — в состояние (1) и затем с интенсивностью λ₁, — в нулевое состояние.

Описание функционирования системы с помощью графов позволяет сформировать ряд важных общих свойств графов состояний.

1. Граф состояний полностью описывает функционирование восстанавливаемой системы, как системы массового обслуживания. Вид графа зависит от структурной схемы системы, надежности и ремонтопригодности элементов, а также от дисциплины обслуживания. На основании этого свойства можно утверждать, что все количественные характеристики надежности восстанавливаемой системы могут быть определены непосредственно из графа состояний системы.

2. Число узлов графа может быть больше или меньше возможного числа состояний восстанавливаемой системы. Это объясняется тем, что граф описывает поведение системы совместно с функционированием обслуживающего органа, т. е. он описывает функционирование системы массового обслуживания.

3. Граф, не содержащий поглощающих состояний, описывает поведение восстанавливаемой системы при неограниченном ремонте, т. е. описывает поведение системы, функционирующей бесконечно долго.

4. Функционирование восстанавливаемой системы с одним ремонтным органом и обратным приоритетом в обслуживании отказавших элементов описывается графом типа дерева.