5.1.3. Матрица состояний системы

В матрице состояний содержится вся информация о функционировании системы в смысле ее надежности. Каждая строка матрицы представляет собой вектор, компонентами которого служат признаки о том, в каком состоянии пребывает каждый элемент, когда сама система находится в состоянии i' i ϵ Е, где Е — множество всех состояний системы. Элемент может находиться не только в двух состояниях: работает или восстанавливается. Элемент системы может находиться в состоянии простоя, которое вызвано различными причинами. Для дальнейшей работы системы необходимо знание того, вызван ли указанный простой элемента очередью на. восстановление или отказом других элементов, или элемент является резервным и находится в ненагруженном состоянии и т. д. Задание матрицы состояний системы было подробно описано в гл. 4. Вместо матрицы состояний информация о функционировании системы может находиться в аргументах функций, являющихся неизвестными в системе интегральных уравнений. Достоинством описания системы с помощью матрицы состояний является удобство ее хранения в памяти ЭВМ или на внешнем носителе информации. При этом матрица может иметь практически любую размерность. Другое дело — использование этой матрицы для построения системы интегральных уравнений. Данный вопрос достаточно сложный и требует серьезного изучения.

5.1.4. Граф состояний системы

Восстанавливаемая система, состоящая из п элементов, может находиться в большом числе состояний. Например, i-е устройство отказало (i = 1, 2,..., n), а остальные исправны; i-е и j-е устройства отказали, а остальные исправны, и т. д. Из-за отказов и восстановлений система в дискретные моменты времени переходит из одного состояния в другое. В процессе длительной эксплуатации она может побывать в каждом из возможных состояний многократно. Тогда ее функционирование может быть описано графом, узлам которого приписываются состояния системы, а ветвям — возможные переходы из состояния в состояние. Если в графе имеется n узлов, то среди них будет k узлов, соответствующих отказовым состояниям, и (п-k) — исправным.

Если оценивать функционирование системы до некоторого i-го состояния, например до первого ее отказа, то i-е состояние считается поглощающим. Система, попавшая в i-е состояние, уже не может перейти в другое, и в графе отсутствуют ветви переходов из этого состояния (говорят, что в такие ветви ставится экран).

Вид графа зависит от структуры системы (схемы расчета надежности), числа обслуживающих бригад и дисциплины обслуживания. Обычно узлы графа нумеруются и отмечаются (например, крестом) те, которые соответствуют отказовым состояниям системы. На графе также указываются все интенсивности переходов.

Рассмотрим примеры графов, описывающих функционирование системы в смысле ее надежности.

ПРИМЕР 5.1. Схема расчета надежности нерезервированной системы приведена на рис. 5.4, где приняты обозначения:

- п — число элементов системы;

- λ_i — интенсивность отказа i-го элемента;

- μ_i, — интенсивность восстановления i-го элемента, i = 1, 2,..., п.

Граф состояний рассматриваемой нерезервированной восстанавливаемой системы приведен на рис. 5.5.

Исправное состояние обозначено (0), а отказовые пронумерованы от 1 до n и изображены квадратами. В любом i-м отказовом состоянии система не работает, а i-й элемент находится в ремонте. Очевидно, что система в i-е отказовое состояние может попасть с интенсивностью отказа i-го элемента, т. е. λ_i, и может быть восстановлена (возвращена в состояние (0)) с интенсив­ностью μ_i,.

Указанные интенсивности приведены на графе. В рассматриваемом случае вид графа и интенсивности переходов не зависят от числа обслуживающих бригад, т. к. предполагается, что после возникновения отказа одного элемента вся система не работает и отказы элементов в процессе ее восстанбвления не возникают.

Если необходимо проанализировать поведение системы до первого отказа, то следует считать, что состояния (1), (2),..., (n) являются поглощающими (система, попав в эти состояния, больше не возвращается в исправное состояние (0), экран на графе состояний).

ПРИМЕР 5.2. Необходимо описать графом функционирование дублированной системы, схема расчета надежности которой приведена на рис. 5.6.

Рассмотреть следующие случаи:

а) систему обслуживают две бригады;

б) обслуживание осуществляется одной бригадой с прямым приоритетом;

в) обслуживание осуществляется одной бригадой с обратным приоритетом;

г) обслуживание осуществляется одной бригадой, причем первый элемент имеет высший приоритет по сравнению со вторым.

Решение. Из рис. 5.6 видно, что дублированные устройства неравнонадежны и обладают различной ремонтопригодностью. Предполагается также, что последействие отказов отсутствует.

Графы состояний системы для всех случаев приведены на рис. 5.7.

Cистема может находиться в следующих состояниях:

- (0) — состояние, когда оба устройства исправны;

- (1) — состояние, когда первое устройство отказало и находится в ремонте, а второе исправно;

- (2) — состояние, когда второе устройство отказало и находится в ремонте, а первое исправно;

- (3) — отказовое состояние системы, когда оба устройства неисправны; при этом в случае (a) ремонтируются и первое, и второе устройства; в случае (б) и (г) ремонтируется первое, а второе находится в очереди на ремонт, в случае (в) ремонтируется второе, а первое находится в очереди;

- (4) — отказовое состояние, когда оба устройства неисправны, при этом в случае (б) ремонтируется второе устройство, а в случаях (в) и (г)— первое.

Рассмотрим первоначально случай (а) (рис. 5.7,а). В дублированной системе может отказать либо первое, либо второе устройство. Поэтому из исходного состояния (0) возможны два перехода: в состояние (1) с интенсивностью λ₁, и в состояние (2) с интенсивностью λ₂. Отказавшее устройство может быть восстановлено до отказа системы, т. е. система из состояний (1) и (2) может возвратиться в исходное нулевое состояние. Может также оказаться, что до восстановления отказавшего устройства откажет еще одно, и система перейдет в отказовое состояние (3), показанное на графе квадратом. В это состояние она может попасть либо из состояния (1) с интенсивностью λ₂ (второе устройство отказало), либо из состояния (2) с интенсивностью λ₁ (первое устройство отказало). Так как восстановлением системы занимаются две обслуживающие бригады, то в состоянии (3) оба устройства ремонтируются независимо от того, какое из них отказало первым. Если в состоянии (3) первоначально будет отремонтировано первое устройство, то система перейдет с интенсивностью μ₁, в состояние (2), а если второе — то с интенсивностью μ₂ в состояние (1).

Случаи (б), (в), (г) отличаются от рассмотренного тем, что ремонтом дублированной системы занимается лишь одна обслуживающая бригада. При таком обслуживании в отказовом состоянии дублированной системы ремонтируется только одно из отказавших устройств, а второе находится в очереди на ремонт. А это значит, что дублированная восстанавливаемая система имеет два разных отказовых состояния, которые объединить в одно в общем случае невозможно. На рис. 5.7, б—г эти состояния обозначены (3) и (4) и показаны квадратами.

При обслуживании дублированной системы с прямым, приоритетом (случай (б)) в отказовом состоянии (3) ремонтируется первое устройство, а в состоянии (4) — второе. Если будет отремонтировано первое устройство, то система перейдет в исправное состояние, когда первое устройство работает, а второе находится в ремонте, т. е. в состояние (2). Интенсивность перехода будет равна интенсивности восстановления μ₁ первого устройства. Если будет отремонтировано второе устройство, то система перейдет в исправное состояние, когда второе устройство работает, а первое находится в ремонте, т. е. в состояние (1). Интенсивность перехода будет равна интенсивности восстановления μ₂ второго устройства.

При обслуживании системы с обратным приоритетом (случай (в)) в состоянии (3) ремонтируется второе устройство, а в состоянии (4) — первое, поэтому из отказовых состояний (3) и (4) возможны переходы соответственно в состояние (1) с интенсивностью μ₂ и в состояние (2) с интенсивностью μ₁.

В случае (г) первое устройство имеет приоритет в обслуживании, поэтому в отказовых состояниях (3) и (4) оно ремонтируется первым. А это означает что переход системы из отказовых состояний (3) и (4) возможен лишь в исправное состояние (2), когда первое устройство работает, а второе находится в ремонте. Интенсивность перехода равна интенсивности восстановления μ₁ первого устройства.

Из примера следует, что вид графа зависит не только от структуры системы, но также от числа обслуживающих бригад и дисциплины обслуживания.'

Из приведенных примеров видно, что граф состояний восстанавливаемой системы полностью определяется ее структурой (схемой расчета надежности), надежностью устройств, их ремонтопригодностью, числом ремонтных бригад, дисциплиной обслуживания и видом восстановления. В нем содержится вся информация о функционировании системы. Поэтому граф состояний можно рассматривать как один из способов описания поведения системы в смысле ее надежности. Основным преимуществом такого описания является наглядность и сравнительная простота.

Граф состояний сложной системы может иметь большое число узлов. В этом случае при построении графа приходится просматривать большое число возможных сочетаний отказавших элементов. Это можно выполнить при условии формализации построения графа.