Глава 5 методы анализа надежности технических систем

Рассчитать надежность сложной системы — это значит определить ее показатели надежности по известным показателям надежности элементов.

Существует большое количество методов расчета надежности. Основными из них являются:

• метод, основанный на применении классических теорем теории вероятностей;

• логико-вероятностные методы;

• топологические методы;

• методы, основанные на теории марковских процессов;

• методы интегральных уравнений;

• методы статистического моделирования.

Опишем эти методы, укажем их достоинства и недостатки.

5.1. Способы описания функционирования технических систем в смысле их надежности

Существуют следующие способы описания функционирования технической системы в смысле ее надежности:

□ структурная схема;

□ функции алгебры логики;

□ граф состояний;

□ дифференциальные и алгебраические уравнения;

□ интегральные уравнения.

Опишем эти способы и приведем примеры их использования.

5.1.1. Структурная схема системы

Каждый элемент сложной системы изображается в виде геометрической фигуры, чаще всего прямоугольника. Прямоугольники соединяют линиями таким образом, чтобы полученная структурная схема отображала условия работоспособности. В качестве примера на рис. 5.1 приведены соответственно структурные схемы нерезервированной системы, состоящей из п элементов, и системы с раздельным (поэлементным) резервированием.

Резервирование элементов осуществляется методами постоянно включенного резерва, замещением и с дробной кратностью т=1/2.

Из структурных схем наглядно видны условия работоспособности. Система на рис. 5.1,а работоспособна, если все ее элементы исправны. Отказ любого элемента нарушает работоспособность системы, наступает ее отказ. Система на рис. 5.1,б работоспособна, если исправным является элемент 1 и любой один элемент дублированных пар, а также два любых элемента из трех резервированных с дробной кратностью т = 1/2.

Высокая наглядность — основное достоинство этого метода. Его недостатком является далеко не полная информация о функционировании системы. Например, из рис. 5.1 не ясно: ремонтируемая или перемонтируемая система, дублирование осуществлено равнонадежными элементами или нет, какова дисциплина обслуживания системы, если она ремонтируемая (количество ремонтных бригад, приоритетность обслуживания), какова кратность резервирования в случае резервирования с дробной кратностью.

Эти и ряд других недостатков требуют дополнительных описаний условий работоспособности системы. Только при этих условиях можно выполнить анализ системы по критериям надежности. Следует также иметь в виду, что структурная схема не является математической моделью функционирования системы.

5.1.2. Функции алгебры логики

Закодируем состояния каждого из элементов структурной схемы двоичными переменными: 1 (элемент исправный), 0 (элемент в отказовом состоянии).

Тогда функционирование системы можно описать с помощью функций алгебры логики (ФАЛ), используя операции конъюнкции, дизъюнкции и инверсии. В качестве примера составим ФАЛ, соответствующую работоспособности системы с последовательным соединением элементов. Система находится в работоспособном состоянии при условии, что все ее элементы исправны. Обозначим х_i — исправное состояние i-го элемента, — отказовое состояние, i = 1,2,..., п. Тогда ФАЛ будет иметь вид:

Приведем еще один пример. Структурная схема системы имеет вид, представленный на рис. 5.2.

Система будет в работоспособном состоянии в следующих случаях: все элементы исправны, исправными являются элементы 1 и 2 или 1 и 3. Тогда ФАЛ, соответствующая функции работоспособности, будет иметь вид:

Процедура получения ФАЛ может быть формализована. Одним из способов формализации является получение совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ), получаемой из таблицы истинности, соответствующей работоспособному состоянию системы.

Пусть, например, структурная схема системы имеет вид, показанный на рис. 5.3.

Функция у(х₁,х₂,х₃,х₄) имеет значение 1 лишь на трех наборах двоичных аргументов:

- 0111 (исправными являются элементы х₂,х₃,х₄);

- 1011 (исправнымиявляются элементы х₁,х₃,х₄);

- 1111 (все элементы исправны).

Тогда следующая СДНФ будет функцией алгебры логики, описывающей работоспособное состояние системы:

Функция алгебры логики может быть математической моделью функционирования системы в смысле ее надежности.

Способы получения ФАЛ, достоинства и недостатки метода более подробно описаны в разд. 5.3.