4.6. Модели надежности систем при экспоненциальных законах распределения отказов и восстановлений элементов

Рассмотрим частный случай системы уравнений (4.15), когда времена безотказной работы и восстановления элементов имеют экспоненциальные законы распределения вероятностей. Пусть где — интенсивность отказа или восстановления i-го элемента в зависимости от того, какой смысл вкладывается в плотность распределения h_i (время безотказной работы или время восстановления). Будем искать решение системы дифференциальных уравнений (4.15) в виде

где произведение распространяется на все индексы iϵR_kᴗR_k^’ᴗW_kᴗW_k^’, а р_k(t) — некоторые функции времени. Подставляя это решение в левую часть (4.15) и используя равенство —h_i^’(x)= h_i(x), получим:

Преобразуем теперь правую часть уравнения (4.15). Так как

где произведение вычисляется для всех iϵR_kᴗR_k^’ᴗW_kᴗW_k^’, и i≠i₀, то правая часть (4.15) принимает вид

причем первое произведение распространяется на все индексы i, для которых вектор А_k\Аj⁽ⁱ⁰⁾ имеет "ненулевые" компоненты, поэтому оба произведения под знаком суммы дополняют друг друга, и после их объединения получим , в котором индексы i являются номерами "ненулевых" компонент вектора А_k, т.е. iϵR_kᴗR_k^’ᴗW_kᴗW_k^’. Тем самым правая часть дифференциального уравнения равна

Приравнивая левую и правую части, получим:

или

В соотношении (4.22) i = i(j,k) — номер элемента, вызвавшего переход из состояния j в состояние k. Это уравнение показывает, что функции р_k(t) удовлетворяют уравнениям Колмогорова, справедливым для экспоненциальных распределений, и, следовательно, р_k(t) есть вероятность пребывания системы в момент t в состоянии k. Таким образом, функции (4.21), в которых вероятности р_k(t) определяются системой (4.22), являются искомым решением системы дифференциальных (и интегральных) уравнений, описывающих функционирование технической системы с экспоненциальными распределениями.

Заметим также, что если какой-либо компоненте вектора А_k с номером i₁ соответствует плотность h_i1, экспоненциального распределения, а остальные плотности h_i, произвольные, то число аргументов функций у_k уменьшается, т. к.

Это значит, что необходимость введения дополнительной компоненты в функции у_k отпадает. Этим фактом можно пользоваться для уменьшения количества неизвестных, если время до отказа или время восстановления некоторых элементов системы имеет экспоненциальное распределение.

Предположим, что техническая система состоит только из элементов электроники, имеющих экспоненциальные распределения времени безотказной работы и любые распределения времени восстановления. Тогда математическая модель в виде системы интегральных уравнений значительно упрощается. Наибольшее упрощение системы уравнений происходит при полностью ограниченном восстановлении, когда неизвестные функции содержат лишь одну дополнительную компоненту.

ПРИМЕР 4.9. Описать функционирование восстанавливаемой системы из примера 4.2 при следующих условиях: время до отказа элемента имеет экспоненциальное распределение с параметром λ_i,, i = 1, 2, 3, а восстановление отказавших элементов производится одной ремонтной бригадой с прямым приоритетом.

В примере будет показано принципиальное отличие анализа надежности системы в общей ситуации от случая, когда все законы распределения времени до отказа и времени восстановления элементов являются экспоненциальными. Так, например, количество состояний системы зависит от приоритета восстановления отказавших элементов. Для прямого приоритета количество возможных состояний увеличивается по сравнению с рассмотренным ранее случаем обратного приоритета обслуживания, поскольку каждое из состояний (1) и (2) приходится разбивать на два состояния.

Решение. Перечислим все состояния системы:

□ (0) — все элементы исправны, А₀ = (s₁, s₂, s₃);

□ (1)— отказал и восстанавливается 1-й элемент, другие элементы простаивают вследствие прерывания их работы, А₁ = (τ₁, s₂^’, s₃^’);

□ ( ) — восстанавливается 1-й элемент, 2-й элемент простаивает из-за прерывания его работы, 3-й элемент исправен, но не включен в работу, A_1¯= (τ₁, s₂^’, 0) ;

□ (2) — отказал и восстанавливается 2-й элемент, другие элементы простаивают вследствие прерывания их работы, А₂ = (s₁^’, τ₂, s₃^’);

□ ( ) — восстанавливается 2-й элемент, 1-й элемент простаивает из-за прерывания его работы, 3-й элемент исправен, но не включен в работу, A_2¯= (s_1,^’ τ₂, 0)

□ (3)— отказал и восстанавливается 3-й элемент, другие элементы продолжают работать, А₃ = (s₁, s₂, τ₃);

□ (31) — отказал 3-й, а затем 1-й элементы, 1-й элемент находится в очереди на восстановление, 2-й элемент простаивает из-за прерывания работы, 3-й элемент восстанавливается, А₄ = (0, s₂, τ₃);

□ (32) — отказал 3-й, а затем 2-й элемент, 1-й элемент простаивает вследствие прерывания работы, 2-й элемент находится в очереди на восстановление, 3-й элемент восстанавливается, А₅ = (s_1,, 0, τ₃).

В связи с принятой дисциплиной обслуживания, когда при наличии очереди сначала восстанавливается первый отказавший элемент, граф состояний (рис. 4.6) будет другим по сравнению с графом, изображенным на рис. 4.3 для обратного приоритета.

Система интегральных уравнений также изменяется и приобретает следующий вид:

Согласно принятому допущению об экспоненциальности времен до отказа элементов, искомые функции можно представить в виде:

где функции получены из функций у путем интегрирования по всем компонентам, соответствующим экспоненциальным распределениям, например:

и т. д.

С учетом этого замечания получим следующую систему уравнений:

Если ограничиться стационарным режимом, то получим

Выразим все искомые функции через :

Выразим теперь вероятности всех состояний через вероятность р₀ = начального состояния:

Используя условие нормировки, найдем вероятность начального состояния, являющегося в данном случае коэффициентом готовности системы:

Таким образом, показатели надежности зависят не только от моментов первого порядка, но и от закона распределения времени восстановления элементов.