4.4. Модель надежности стационарного режима

В процессе эксплуатации технической системы ее многие временные характеристики стремятся к некоторым постоянным значениям. В этом случае говорят, что система работает в установившемся или стационарном режиме. Предположим, что функции у_k(А_k,t), описывающие функционирование системы, имеют предельные значения, и Тогда формальный переход к пределу в уравнениях (4.11) показывает, что относительно функций у_k(А_k), kϵЕ имеет место следующая система интегральных уравнений:

Система уравнений (4.17) описывает стационарный режим восстанавливаемой системы. В ней приняты те же обозначения, что и в уравнениях (4.11). Заметим, что добавочное слагаемое θ_k0(А_k0,t), характеризующее начальное распределение вероятностей, стремится к нулю при t→∞, и система (4.17) его не содержит. Поэтому система уравнений (4.17) является однородной и всегда имеет тривиальное решение у_k = 0. Таким образом, если у_k — какое-либо ненулевое решение системы (4.17), то функции су_k (с = const) также образуют решение этой системы. Поэтому решение системы (4.17) обычно определяется при дополнительном нормировочном условии: сумма вероятно­стей всех состояний равна единице.

Система дифференциальных уравнений (4.15) также может быть формально преобразована для описания стационарного режима, а именно предельный переход при t→∞ приводит к следующей системе уравнений:

Система (4.18) эквивалентна системе (4.17). Решение систем для установившегося режима обычно проще, чем решение аналогичных систем, описывающих нестационарный режим, и в некоторых случаях оно может быть получено в конечном виде. Решение приведенных систем уравнений дает возможность найти вероятности состояний в установившемся режиме, а также параметры перехода из состояния k в состояние l (k,lϵЕ):

где i₀ = i₀(k,l) — номер того элемента, отказ или восстановление которого вызвал данный переход.

ПРИМЕР 4.6. Составить систему интегральных уравнений, описывающую стационарный режим функционирования основного соединения 3-х элементов из разд. 4.2.3.

Решение. В примере 4.5 приведена математическая модель функционирования рассматриваемой системы для любого момента времени t. Предельны переход при t→∞ дает математическую модель функционирования в стационарном режиме:

Непосредственной подстановкой легко проверить, что данная система имеет следующее решение:

Теперь не представляет труда определить стационарные вероятности состояний и параметры перехода из состояния в состояние с точностью до постоянного множителя С:

Постоянное число С находится из условия нормировки:

откуда

На основе полученных базовых показателей определяются основные показатели надежности, например средняя наработка на отказ

и среднее время восстановления

4.5. Модели надежности невосстанавливаемых систем

Оценка надежности технической системы без восстановления является значительно более простой задачей по сравнению с оценкой восстанавливаемой системы. Описание функционирования такой системы представляет собой частный случай математической модели системы при наличии восстановления.

Пусть Е — множество состояний невосстанавливаемой системы. Тогда для любого состояния kϵЕ естественным образом определяются множества R_k, R_k^’, R_k⁰, характеризующие соответственно номера работающих элементов, элементов, находящихся в состоянии простоя по причинам прерывания их функционирования, и элементов, образующих очередь на работу. При этом условно будем считать, что отказавшие элементы становятся в очередь на восстановление, и номера этих элементов образуют множество W_k⁰. Множества W_k и W_k^’, характеризующие процесс восстановления элементов, являются пустыми. Таким образом, аргументы искомых функций у_k равны s_i, либо s_i^’, либо нулю. В графе состояний отсутствуют все переходы, соответствующие восстановлению, и все пути графа имеют конечную длину, не превышающую количество уровней графа. Соотношения (4.9) и (4.10) для вероятностей состояний и параметров переходов, а также правила составления систем интегральных и дифференциальных уравнений при этом сохраняются, но по своей форме они значительно упрощаются.

ПРИМЕР 4.7. Описать функционирование невосстанавливаемой системы для основного соединения 3-х элементов из разд. 4.2.3.

Решение. Как и прежде, устройство имеет 6 возможных состояний и 6 неизвестных функций: y₀(s₁,s₂,s₃,t), y₁(0,s_2’,s_3’,t), y₂(s_1’,0,s_3’,t), y₃(s₁,s₂,0,t), y₃₁(0,s_2’,0,t), y₃₂(s_1’,0,0,t). Считая, что в момент времени t=0 все элементы исправны, будем иметь следующую систему интегральных уравнений:

Все неизвестные функции определяются последовательной подстановкой:

Далее находим вероятности состояний:

Нетрудно видеть, что сумма вероятностей равна единице, что может служить контролем правильности вычислений.

ПРИМЕР 4.8. Описать функционирование невосстанавливаемой резервированной системы при постоянном резервировании кратности т = 2 из разд. 4.2.3.

Решение. В графе состояний невосстанавливаемой системы отсутствуют все переходы с нижнего уровня на верхний. Мы не будем выписывать полностью систему интегральных уравнений, приведем только те уравнения, которые отвечают состояниям: 0, 1, 12, 123. Остальные уравнения составляются аналогично.

Непосредственной подстановкой найдем решение этой системы:

Определим вероятности соответствующих состояний:

Выписывая вероятности остальных состояний, можно показать, что сумма вероятностей всех состояний равна единице.

Вычислим вероятность отказа системы:

или

Следовательно, вероятность безотказной работы