4.2.2. Матрица состояний

Множество всех состояний системы обозначим через Е, а через п — число этих состояний. В соответствии с заданным понятием отказа все состояния системы разбиваются на два класса: множество работоспособных состояний Е₊ и множество отказовых состояний Е_. В каждый фиксированный момент времени t и для каждого k-го состояния определяются шесть подмножеств множества всех элементов:

• R_k —множество номеров работающих элементов;

• W_k — множество номеров ремонтируемых элементов;

• R_k' — множество номеров элементов, находящихся в состоянии простоя вследствие прерывания их функционирования;

• W_k' — множество номеров элементов, находящихся в состоянии простоя вследствие прерывания их восстановления;

• R_k⁰ — множество номеров элементов, образующих очередь на работу;

• W_k⁰ — множество номеров элементов, образующих очередь на восстановление.

С каждым k-м состоянием (kϵЕ) свяжем вектор А_k = (а_1k, а_2k,..., а_mk), характеризующий состояния всех элементов системы в момент времени t. Компоненты вектора А_k предполагаются равными:

Если i ϵ R_k' (i ϵ W_k') то соответствующую компоненту будем иногда снабжать штрихом и писать s_i' (τ_i'). Если а_ik = 0, то соответствующую компоненту будем называть "нулевой" и для различия состояний будем писать а_ik = ОR, если 1-й элемент находится в очереди на работу, или а_ik = ОW, если i-и элемент находится в очереди на восстановление. "Нулевая" компонента должна содержать также четкое указание о порядковом номере очереди на работу или очереди на восстановление, если таких компонентов более одной. В некоторых случаях, когда это не может вызвать недоразумений, "нулевые" компоненты мы будем опускать.

Таким образом, функционирование любой восстанавливаемой системы полностью определяется матрицей состояний S размерности т×п, столбцами которой служат векторы А_k.

Для удобства матрица состояний дополняется верхней строкой, содержащей коды (или номера) соответствующих состояний, например совокупностью (упорядоченной или неупорядоченной) отказавших элементов, и нижней строкой, показывающей, к какому классу (Е₊ или Е_) относится состояние с номером k: 1, если k ϵ Е₊, или 0, если k ϵ Е_-.

4.2.3. Матрица переходов

При изучении процесса функционирования систем часто бывает удобно использовать понятия теории графов. Введем некоторые определения.

Графом [96] называется тройка (Е,D,Т), где Е и D — конечные множества, а T — отображение из множества D в декартово произведение Е×Е. Элементы множества Е называются узлами (вершинами) графа, а элементы множества D — ветвями (дугами) графа. Отображение Т каждой ветви графа dϵD сопоставляет упорядоченную пару его узлов (k₁,k₂), k₁,k₂ϵЕ, первый из которых называется началом ветви d, а второй — концом ветви d. Граф может быть изображен с помощью рисунка, на котором узлам соответствуют точки, а ветвям — линии со стрелками, идущими от начала к концу. Пусть заданы последовательность узлов k₀, k₁, k_{2 .}.., k_r графа и последовательность ветвей d₀, d₁, d_{2 .}.., d_r. Будем называть эту пару последовательностей путем, если узел k_j-1 является началом, а узел kj является концом ветви d_j, j = 1, 2,..., r. Узел k₀ называется началом пути, а узел k_r — концом пути, число r называется длиной пути.

Функционирование восстанавливаемой (и невосстанавливаемой) системы может быть описано графом состояний. Множество всех состояний системы Е отождествим с множеством узлов графа. Возможным переходам системы из одного состояния в другое сопоставим множество всех ветвей графа D. Будем считать, что все переходы системы за один шаг вызваны или отказом, или восстановлением некоторого элемента системы. Тем самым исключается возможность одновременного отказа или восстановления более чем одного элемента системы.

Информация о всевозможных переходах системы за один шаг содержится в матрице переходов Р размерности т×п. Каждый элемент b_ik этой матрицы представляет собой код состояния, в которое имеется непосредственный пе­реход из состояния с номером k вследствие изменения состояния (отказа или восстановления) i-го элемента. Если из состояния к отсутствует переход, вызванный изменением состояния i-го элемента, то соответствующее место матрицы Р не заполняется. Таким образом, элементам матрицы Р соответствуют ветви графа с началом в узле с кодом, соответствующим состоянию с номером k и с концом в узле с кодом b_ik. При этом в силу принятой нумерации состояний в матрице Р дается указание о номере элемента, отказ или восстановление которого вызвало данный переход.

При изучении свойств технической системы с точки зрения надежности нет необходимости задавать множество всевозможных переходов, т. к. они полностью определяются состояниями системы и списком аргументов, связанных с этими состояниями. Тем самым матрица Р может быть построена по матрице S программно. Для построения матрицы переходов надо определить допустимые переходы для каждого элемента. Допустимыми являются переходы вида:

s→s,s’,τ,OW;

τ→s,τ,τ’,OR;

s’→s,s’;

τ’→τ,τ’;

OR→s,OR.

OW→τ,OW.

Значения s,s’,τ,τ’,OR,OW представляют собой характеристики состояния каждого элемента системы (см. разд. 4.2.2). При этом переходы s→τ или s→OW будем называть отказовыми, а переходы τ→s или τ→OR — вос­станавливающими.

Чтобы определить существование перехода из состояния k в состояние l, надо сопоставить между собой компоненты векторов А_k =(а_1k, а_2k,.-., а_mk) и А_l = (а_1l, а_2l,.-., а_ml). Непосредственный переход k→l существует вследствие отказа или восстановления элемента i₀, если переход а_i0k →a_i0l является отказовым или восстанавливающим, а остальные поэлементные переходы а_ik →a_il допустимы, но не являются отказовыми или восстанавливающи­ми. В этом случае b_i0k равен коду состояния с номером l. Таким путем может быть сформирована матрица Р. Если переход k→l не существует, то соответствующий элемент матрицы Р не заполняется.

ПРИМЕР 4.2. Составить матрицу и граф состояний для основного соединения трех элементов в предположении, что при отказе 1-го или 2-го элемента остальные элементы выключаются, а при отказе 3-го элемента остальные продолжают функционировать. Восстановление отказавших элементов производится одной ремонтной бригадой с обратным приоритетом.

Решение. Система имеет следующие состояния и соответствующие им вектора:

(0) — все элементы исправны, А₀ = (s₁,s₂,s₃);

(1) — отказал и восстанавливается 1-й элемент, другие элементы простаивают вследствие прерывания их работы А₁ = (τ₁,s_2’,s_3’);

(2) — отказал и восстанавливается 2-й элемент, другие элементы простаивают вследствие прерывания их работы, А₂ =(s₁',τ₂,s₃');

(3) — отказал и восстанавливается 3-й элемент, другие элементы продолжают работать, A₃ = (s₁,s₂,τ₃);

(31) — отказали 3-й, а затем 1-й элементы, восстанавливается 1-й элемент, 2-й простаивает вследствие прерывания работы, 3-й простаивает вследствие прерывания восстановления, А₄=(τ₁, s₂', τ₃');

(32) — отказали 3-й, а затем 2-й элементы, восстанавливается 2-й элемент, 1-й простаивает вследствие прерывания работы, 3-й простаивает вследствие прерывания восстановления, А₅ = (s₁', τ₂, τ₃').

Таким образом, матрица состояний имеет вид:

Граф состояний представлен на рис. 4.3. Он имеет нумерацию узлов, принятую ранее.

В соответствии с общими принципами построения матрицы переходов она имеет вид:

ПРИМЕР 4.3. Составить матрицу и граф состояний резервированной системы при общем постоянном резервировании кратности m = 2. Обслуживание отказавших элементов осуществляют два ремонтных органа с прямым приоритетом.

Решение. Система имеет следующие состояния:

(0) — все элементы исправны;

(k) — отказал и восстанавливается k-й элемент, другие элементы работают;

(kl) — отказали и восстанавливаются элементы с номерами k и l, оставшийся элемент работает;

(klm) — отказали и восстанавливаются элементы с номерами k и l, оставшийся элемент находится в очереди на восстановление.

Матрица состояний имеет вид:

Граф состояний представлен на рис 4.4.

По графу легко составляется следующая матрица переходов: