Глава 4 математические модели функционирования технических элементов и систем в смысле их надежности

Расчет надежности сложных технических систем часто базируется на предположении о том, что время безотказной работы и время восстановления элементов имеют экспоненциальные распределения вероятностей. Как было показано в гл. 3, это допущение приводит к существенным ошибкам при вычислении показателей надежности. Более реальным является анализ надежности технических систем, если снять ограничения об экспоненциальности распределений времени до отказа, восстановления и .случайных параметров, сопутствующих функционированию системы. К таким параметрам относятся: время между очередными сеансами контроля и время его проведения, момент подключения в работу резервных элементов, время между очередными профилактиками и время их проведения и т. п.

4.1. Общая модель надежности технического элемента

Напомним, что под элементом в теории надежности понимается любой технический объект, имеющий показатель надежности, самостоятельно учитываемый при расчетах.

Элемент с восстановлением имеет два возможных состояния:

□ (0) — элемент работает;

□ (1) — элемент восстанавливается.

Пусть Y₀(s,t) — вероятность того, что на интервале [t, t+s] элемент находится в исправном состоянии, а Y₁(τ,t) — вероятность того, что на интервале [t, t+τ] элемент восстанавливается. Продифференцируем эти функции:

Функция y₀(s,t) представляет собой плотность распределения вероятностей исправной работы элемента на интервале [t, t+s], а функция y₁(τ,t) — плотность распределения вероятностей времени восстановления элемента на интервале [t, t+τ].

Предположим, что в начальный момент времени t=0 элемент находится в исправном состоянии, тогда

и потому

Момент перехода из состояния восстановления в состояние исправной работы показан на рис. 4.1.

На рис. 4.1 приняты следующие обозначения:

ξ — случайное время исправной работы элемента;

η — случайное время восстановления элемента;

t — момент времени, при котором элемент исправен;

х — произвольный момент времени, взятый на промежутке от 0 до t;

t - х — момент окончания восстановления отказавшего элемента;

s — время, в течение которого элемент исправен.

Вероятность того, что элемент исправно работал в течение времени х + s при условии, что в момент времени t-х произошло его восстановление, равна y₁(0,t-x)f(x+s).

Так как x — любой момент времени из интервала [0; t], то в результате интегрирования этой функции от 0 до t получим уравнение

в котором слагаемое f(t+s) обусловлено началом процесса функционирования и означает, что при отсутствии отказа до момента t элемент работает безотказно в течение времени (t+s). Аналогичное уравнение имеет место и для второй функции y₁(τ,t), но уже без свободного члена.

Это позволяет записать следующую систему интегральных уравнений относительно функций y₀ и y₁:

Система уравнений (4.1) связывает между собой две функции, содержащие предысторию процесса функционирования элемента. Это обусловлено наличием в аргументах функций y₀(s,t) и y₁(τ,t) дополнительных переменных s и τ, которые соответствуют остаточному времени работы и восстановления элемента.

Если остаточное время работы и восстановления равно нулю, то функции ω(t) = y₀(0,t) и ω_B(t) = y₁(0,t) являются параметрами потока отказов и восстановления соответственно. Обозначая φ_s(t)= φ(t+s), получим:

Последние формулы дают возможность выразить вероятности Y₀ при малых s и Y₁ при малых τ через важнейшие характеристики элемента: функции готовности и простоя и параметры потока отказов и восстановлений. Выражения имеют вид:

Тогда

Полагая в (4.2) s=0 и τ=0, получим

Отсюда следует, что

Вероятности р₀(t) и р₁(t) пребывания элемента в исправном и отказовом состояниях, очевидно, совпадают соответственно с функциями готовности и простоя. Нетрудно показать, что эти вероятности удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям Эрланга

Здесь λ(t) и μ(t) — интенсивности потоков отказов и восстановлений, определенные в разд. 2.6. Отсюда следует, что работу элемента можно описать простейшим графом состояний (рис. 4.2), в ветвях которого находятся функции λ(t) и μ(t). Этому графу соответствует система обыкновенных дифференциальных уравнений (4.4).

Согласно принятому ранее допущению вероятности р₀(t) и р₁(t) удовлетворяют начальным условиям: р₀(0)=1 и р₁(0)=0, означающим, что в момент времени t = 0 элемент исправен.

Следует иметь в виду, что решить систему уравнений (4.1) проще, чем вначале определять интенсивности λ(t) и μ(t), а затем решать систему дифференциальных уравнений (4.4). Наоборот, указанные интенсивности могут быть определены в результате решения системы (4.1).

Аналогичные рассуждения позволяют записать для оценки надежности математическую модель функционирования любой сложной системы. В следующем разделе мы получим такую модель в достаточно общей ситуации, однако для ее составления применим несколько иной способ.

ПРИМЕР 4.1. Предположим, что время безотказной работы и время восстановления элемента имеют экспоненциальные распределения с параметрами λ(t) и μ(t) соответственно. Требуется получить выражения для параметров потоков отказов и восстановлений, среднего суммарного числа отказов и восстановлений в течение времени [0; t], функций готовности и простоя, средней суммарной наработки и суммарного времени восстановления элемента в течение времени [0; t].

Решение. Из соотношений (4.3) на основании разд. 2.5 параметры потоков отказов и восстановлений в преобразовании Лапласа имеют вид:

отсюда

На основе формул ~разд. 2.6 определим среднее суммарное число отказов и среднее суммарное число восстановлений в течение времени [0; t]:

Из соотношений (2.32) и (4.3) функции готовности и простоя в преобразовании Лапласа имеют вид:

Отсюда

На основе формул разд. 2.6 определим среднее суммарное время безотказной работы и среднее суммарное время восстановления в течение времени [0; t]:

Приведенные соотношения будут часто использоваться в дальнейшем. Для распределений, отличных от экспоненциального (за редким исключением), не удается получить явных соотношений для рассмотренных показателей надежности.