3.3.2. Причины неэкспоненциальности случайных параметров, отказов и восстановлений технических систем

В настоящее время большинство практических расчетов в области надежности предполагает использование экспоненциального закона распределения времени между отказами элементов и параметров функционирования системы, таких как время принятия решения, время перерыва в работе элементов, время существования скрытого отказа и т. д. Это обусловлено, с одной стороны, известным положением о сходимости суммарных независимых потоков отказов к пуассоновскому потоку и, с другой стороны, сравнительной простотой аналитических расчетов. Известно, однако, что использование экспоненциального закона, как правило, приводит к существенному расхождению аналитических и экспериментальных данных о надежности сложных систем.

Если не учитывать неэкспоненциальность распределений времени безотказной работы и времени восстановления элементов сложной системы, то это может привести к чрезвычайно большим ошибкам [97,108,109].

Элементы электроники, как правило, имеют экспоненциальное распределение времени безотказной работы. Однако устройства, содержащие непоследовательно соединенные в смысле надежности элементы, уже не обладают экспоненциальными распределениями. Поэтому включение этих устройств в систему в качестве ее элементов приводит к необходимости исследовать надежность системы при неэкспоненциальных распределениях.

Покажем, что при нагруженном резерве вероятность безотказной работы устройства подчиняется гиперэкспоненциальному распределению, а при ненагруженном или смешанном резервировании — обобщенному гамма-распределению.

Экспоненциальное распределение обладает следующим свойством: свертка (см. разд. 2.5) плотностей есть плотность, подчиненная обобщенному гамма-распределению, причем если все λ_i, различны, то свертка указанных плотностей дает гиперэкспоненциальное распределение. Действительно, свертка всех плотностей f_i(t) с одинаковыми параметрами λ_i обра­зует плотность гамма-распределения, а свертка гамма-распределений с разными параметрами, как известно, приводит к плотности обобщенного гамма-распределения. В частности, если все λ_i различны, то имеем линейную комбинацию плотностей экспоненциальных распределений:

Функционирование невосстанавливаемого устройства, элементы которого имеют экспоненциальные распределения, описывается графом состояний, в ветви которого проставлены параметры этих распределений. На рис. 3.2 приведен фрагмент графа, содержащий вершину i₀, предшествующую ей вершину i_-1, и вершины i₁, i₂,..., i_k, следующие из данной вершины за один пере ход.

Тогда для вероятности р_i0(t) состояния i₀ справедливо равенство

Это значит, что вероятность пребывания системы в любом состоянии равна свертке экспоненциальных функций, и, в силу сделанного ранее замечания, она представляет собой линейную комбинацию гамма-распределений. Отсюда следует, что вероятность безотказной работы также равна линейной комбинации гамма-распределений.

Заметим, что эта линейная комбинация гамма-распределений превращается в линейную комбинацию экспоненциальных распределений, если все суммарные интенсивности переходов для любого пути графа различны. Поскольку для основного соединения и нагруженного резерва суммарная интенсивность при переходе на более низкий уровень графа убывает, то плотность распределения времени безотказной работы всей системы имеет гиперэкспоненциальное распределение. Ненагруженное и скользящее резервирование отмеченным свойством не обладает, а поэтому плотность распределения времени безотказной работы системы имеет обобщенное гамма-распределение. Подобные заключения можно сделать и для элемента с экспоненциально распределенным резервом времени, и для элементов, обладающих экспоненциальным распределением, но в которых учитываются дополнительные свойства, такие как возможность накопления нарушений, встроенный контроль, два вида отказов и др.

Еще в большей степени это относится к механическим элементам, которые принципиально являются стареющими. Как показывают проводимые исследования [8,105], время безотказной работы механических элементов имеет распределение Вейбулла или усеченное нормальное распре­деление. Значит, экспоненциальная модель не адекватна физическим процессам, протекающим в системе. Для ремонтируемых систем время восстановления практически никогда не является экспоненциальным, т.к. оно складывается из времени обнаружения, времени локализации и времени устранения неисправности, т. е. равно сумме (зависимых или независимых) обычно не­экспоненциальных распределений случайных величин. Причинами неэкспоненциальных распределений также могут быть: неодновременность работы элементов, наличие восстановления большого числа механических устройств, наличие искусственной и естественной избыточности.

Таким образом, проблема анализа надежности восстанавливаемых систем с произвольными распределениями отказов и восстановления является не только научной, но главным образом технической проблемой, вытекающей из свойств сложных систем.