3.3. Методы анализа надежности технических систем

3.3.1. Обзор существующих методов расчета надежности сложных систем

Анализ надежности технических систем производится, как правило, на основе известных методов с привлечением данных об отказах и восстановлениях элементов, полученных в результате эксплуатации или испытаний систем и их элементов. На практике обычно используют аналитические методы, а также Методы имитационного и статистического моделирования. Математический аппарат теории надежности сложных систем состоит из большого числа аналитических методов. Прежде всего, это логико-вероятностные методы, методы, основанные на теории случайных процессов, декомпозиции, асимптотические и эвристические, аналитико-статистические.

Основой аналитических методов для решения задач надежности служит теория случайных процессов (марковских, полумарковских, многомерных марковских). При помощи однородных марковских процессов с конечным или счетным множеством состояний [20,26,28,45] описывается эволюция систем при максимальных ограничениях: время безотказной работы, восстановления и подключения резервных элементов, временной резерв, время между. сеансами контроля, проведения контроля, существования скрытых отказов и т. д. Они не должны зависеть от предшествующей истории, а значит, имеют экспоненциальные распределения.

Экспоненциальные законы распределения можно использовать только в том случае, когда потоки отказов и восстановлений являются простейшими, т. е. обладают свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия. Вообще говоря, потоки отказов элементов технических систем можно считать ординарными. Потоки восстановлений могут быть неординарными, когда одновременно восстанавливаются несколько элементов. Свойство стационарности должно быть подвергнуто сомнению, т. к. в системе возможно старение или омоложение элементов, и за равные промежутки времени вероятности появления тех или иных событий могут быть различны. Наличие последействия проявляется постоянно, например, после любого ремонта или любого отказа резервированного элемента.

Случайные процессы, с которыми приходится встречаться в теории надежности, далеко выходят за пределы марковских процессов. Попытка отказаться от предположения об "экспоненциальностн" отказа или восстановления хотя бы одного элемента приводит к появлению значительных трудностей в связи с необходимостью составлять системы ннтегродифференциальных уравнений. Эти уравнения в теории массового обслуживания впервые рассматривались Р. Форте, Д. Коксом, Б. А. Севастьяновым [102] для простейшего входящего потока и произвольного распределения длительности обслуживания заявок. Ю. К. Беляев [13] ввел в рассмотрение класс линейчатых марковских процессов, составил для них интегродифференциальные уравнения и использовал их для решения некоторых задач теории надежности.

Математическое описание функционирования системы с произвольными распределениями (Эрланга, нормальное и т. д.) часто удается получить с помощью теории полумарковских процессов, когда процессы исправной работ: и обслуживания рассматриваются в специально подобранные моменты времени [13,34,41, 59,60,64] или марковскими процессами восстановления со специально построенным фазовым пространством [55, 56, 93]. Эти приемы использовал еще А. Я. Хинчин, а позднее Д. Кендалл. Однако поведение сложной системы с восстановлением лишь в нескольких исключительных и довольно тривиальных случаях удается описать полумарковским процессом. Для расширения круга решаемых задач применяются процессы с вложенными точками, которые также используются для оценки надежности достаточно простых восстанавливаемых систем. Методы, основанные на полумарковских процессах, применяются в тех случаях, когда только некоторые распределения (часто одно или небольшое их количество) являются произвольными, а остальные — экспоненциальными. Кроме того, эти методы, как правило, позволяют определять лишь стационарные значения показателей надежности, а для исследования переходных процессов функционирования системы здесь возникают непреодолимые трудности. Возможности применения методов ограничены, поскольку в общем виде на их основе не удается разработать математическую модель восстанавливаемой технической системы с учетом структурной избыточности и любой дисциплины ремонта.

Известно [25], что любой случайный процесс может быть дополнен до марковского соответствующим расширением фазового пространства. Следуя этому теоретическому положению, в настоящее время выполнен анализ надежности класса систем, описываемых суперпозицией независимых полумарковских процессов [65, 105]. Основные недостатки этих работ— невозможность исследования более сложных зависимых процессов и известные трудности в исследовании нестационарных характеристик.

В более общих ситуациях приходится рассматривать марковские процессы с континуальным множеством состояний, т. е. многомерные марковские процессы [45, 53, 56]. На их основе удается описать эволюцию технической системы при произвольных распределениях времен безотказной работы и восстановления элементов с учетом структурной и временной избыточности, учетом контроля технических средств, с учетом нескольких видов отказов и т. д. Инженерная реализация метода многомерных марковских процессов в простейших случаях осуществляется с помощью статистического моделирования на ЭВМ, требующего колоссальных затрат машинного времени и памяти. Даже ускоренные методы статистических испытаний часто не позволяют произвести расчет надежности с требуемой точностью в реальном масштабе времени.

Среднее время восстановления элементов технических систем обычно в несколько раз меньше среднего времени между соседними отказами. Это обстоятельство позволяет использовать для оценки их надежности асимптотические методы. Исследование надежности систем с помощью асимптотических методов является важной задачей, т. к. точные формулы для характеристик надежности удается получить лишь в редких случаях, и они, как правило, сложны для практического использования. Распределения исходных характеристик элементов обычно заранее не известны, а их оценка требует большего труда, чем оценка некоторых числовых параметров.

В практическом плане интерес представляют результаты, в которых доказывается асимптотическая независимость показателей надежности от исходных распределений. Примером могут служить исследования А. Д. Соловьева и Б. В. Гнеденко [7], в которых установлено, что распределение длительности безотказной работы резервированных систем в условиях "быстрого" восстановления асимптотически экспоненциально. Асимптотический анализ сложных систем, основанных на сочетании аналитического метода и метода статистического моделирования, проводился в работах И.Н. Коваленко, 3.А. Ивницкого, Н. М. Акулиничева [52, 53, 54].

В настоящее время работы, посвященные изучению свойств восстанавливаемых систем на основе асимптотического метода, носят в основном теоретический характер и могут использоваться для систем с малым числом состояний. Эти методы не определяют предельное значение параметра, начиная с которого можно использовать асимптотические формулы. С помощью этих методов затруднен также анализ переходных процессов. И, наконец, погрешность характеристик надежности может быть достаточно высокой.

Перечисленные методы имеют наибольшее распространение в практике инженерных расчетов. Тем не менее, для анализа надежности систем с неэкспоненциальными распределениями иногда применяются и другие методы. Это, прежде всего, методы логико-вероятностные, графовые, укрупнения состояний, эвристические, аналитико-статистические, декомпозиции, разложения на фазы, диффузионных процессов, Кендалла и метод аппроксимации интенсивностей.

Логико-вероятностные методы основаны на непосредственном применении теорем теории вероятностей для анализа надежности технических систем. Дифференциальный метод разложения на фазы, а также метод Кендалла, применяемый в задачах массового обслуживания с одним пуассоновским случайным процессом, позволяют сводить немарковскую модель к марковской. Практически эти методы позволяют использовать лишь распределения Эрланга и приводят к значительному увеличению числа состояний. Подобные трудности встречаются при оценке надежности систем с большим числом равнонадежных элементов методом диффузионных процессов, как непрерывного аналога уравнений Колмогорова. Эти методы могут использоваться для расчета стационарных характеристик надежности и вероятности безотказной работы для систем кратковременного действия. При этом "неэкспоненциальные" компоненты, как правило, состоят из нескольких фаз и имеют распределение Эрланга. С помощью введения промежуточных состояний, соответствующих моментам окончания фаз, модель сводится к марковской. Методы ступенчатой аппроксимации интенсивностей отказов и восстановлений элементов можно применять для оценки надежности систем, имеющих незначительное число состояний и медленно изменяющиеся интенсивности. Определение погрешностей расчетов на основе этих методов — сложная задача.

Более общей для описания технической системы является графовая модель, учитывающая влияние практически любых факторов, влияющих на систему, например средств контроля и системы обслуживания. Существенным недостатком описания системы графом состояний является сложность ввода данных и методов определения характеристик надежности, если количество состояний системы велико. Здесь могут использоваться методы укрупнения состояний [59] с недостатками, присущими методам полумарковских процессов.

Сущность эвристического метода оценки надежности восстанавливаемых систем состоит в объединении групп элементов этой системы в одни эквивалентный элемент, который характеризуется альтернирующим процессом восстановления. Тем самым происходит уменьшение числа элементов в системе. Метод применяется исключительно для случая высоконадежных элементов и систем и не позволяет установить погрешность вычислений.

Метод декомпозиции сложных систем основан на построении оценочных математических моделей, позволяющих получать простые и достаточно точные верхнюю и нижнюю границы для оцениваемого показателя надежности. Основные сложности метода связаны с его точностью.

Методы машинного моделирования в целом являются универсальными и допускают рассмотрение систем с большим количеством элементов [21,29,53, 144]. Однако их использование в качестве метода исследования задач надежности целесообразно лишь тогда, когда трудно или невозможно получить аналитическое решение. Основными этапами такого исследования являются: построение формальной модели, разработка программ имитации траекторий модели, проведение имитационных экспериментов.

При анализе высоконадежных систем с помощью имитационной модели возникают проблемы, связанные с очень большими затратами машинного времени, необходимого для вычислений с требуемой точностью. Для увеличения скорости расчетов применяются методы ускоренного моделирования, искусственного введения моментов регенерации, "взвешенного" моделирования, в частности метод малого параметра, а также комбинированные методы анализа с приложениями методов статистического моделирования. С увеличением надежности элементов эффективность моделирования уменьшается [52, 54], и оно становится практически не реализуемым. Часто используется методика уменьшения дисперсии, которая базируется на применении дополнительной информации относительно системы [132,144]. Однако этот метод не может быть использован для разработки универсальных прикладных программ оценки надежности. Здесь проявляется противоречие между основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, а именно: с требованиями адекватности и универсальности с одной стороны и высокой экономичности с другой. Методы статистического и имитационного модели­рования не позволяют в полном объеме определять надежность системы, если учесть большое количество сопутствующих факторов, влияющих на ее функционирование. Поэтому следует подчеркнуть исключительную важность проведения исследований по надежности систем аналитическими методами [7].