2.6.4. Основное уравнение функционирования системы

Предположим, что процесс функционирования системы состоит из случайных времен пребывания в некоторых состояниях и мгновенных переходов одного состояния в другое. Случайное время пребывания в состоянии i характеризуется вероятностью p_i(t), а переход из состояния i в состояние j характеризуется параметром перехода ω_i,j(t). Тогда имеет место система уравнений:

Для доказательства обозначим через число входов в состояние i из любого другого состояния, а через — число выходов из состояния i в любое другое состояние в течение времени [0;t]. При фиксированном t это случайные величины, принимающие целочисленные значения. Рассмотрим 2 случая.

Случай 1. Состояние i не является начальным состоянием процесса функционирования.

Процесс не может выйти из состояния i, если он не оказался в этом состоянии, поэтому ≤ . После пребывания процесса в состоянии i в это состояние нельзя войти вновь до тех пор, пока процесс не выйдет из этого состояния, поэтому ≤ +1. Отсюда следует, что случайная величина - принимает только два значения: 0 или 1. При этом - = 1, если процесс пребывает в состоянии i. Вероятность этого события равна p_i(t). Аналогично - = 0, если процесс вышел из состояния i, но вновь еще не вошел в это состояние. Вероятность этого события равна 1- p_i(t). Следовательно, математическое ожидание случайной величины - равно p_i(t).

Так как

то

Случай 2. Состояние i является начальным состоянием процесса функционирования.

Очевидно, что здесь выполняется неравенство ≤ ≤ +1, поэтому случайная величина - может принимать только два значения 0 и 1 с вероятностями p_i(t) и 1-p_i(t) соответственно. Математическое ожидание этой случайной величины равно 1-p_i(t), следовательно,

Выражения (2.34) и (2.35), а также определения параметров переходов .доказывают требуемое утверждение (2.33).

Из уравнений (2.33) и значений интенсивностей переходов получаем следующую систему уравнений

Система уравнений (2.36), полученная в самом общем виде, является обобщением системы дифференциальных уравнений Колмогорова [7,28] для случая, когда интенсивности переходов из состояния в состояние постоянные.

Расчленим множество всех состояний системы Е на два непересекающихся подмножества: Е₊ — множество работоспособных и Е_- — множество отказовых состояний. Тогда функционирование системы можно рассматривать как функционирование одного (укрупненного) элемента, для которого в разд. 2.6.2 уже получены соотношения для показателей надежности. Так, используя обозначения разд. 2.6.3, получим:

- М(t)= М_Е+(t), М_B(t) = М_Е-(t)— среднее число отказов и среднее число восстановлений системы в течение времени [0;t];

- ω(t) = ω_Е+(t), ω_B(t) = ω_Е-(t) — параметр отказа и параметр восстановления системы в момент времени t;

- т(t) = т_Е+(t), т_B(t) = т_Е-(t) — средняя суммарная наработка и среднее суммарное время восстановления системы в течение времени [0;t];

- К_г(t) = р_Е+(t), К_П(t) = р_Е-(t) — функция готовности и функция простоя системы в момент t;

- T(t) = Т_Е+(t), Т_B(t) =Т_Е-(t) — средняя наработка на отказ и среднее время восстановления системы в течение времени [0;t];

- λ(t) = λ_Е+(t), μ(t) = μ_Е-(t) — интенсивность отказов и интенсивность вос­становления системы в момент t.

Суммируя равенства (2.33) по всем состояниям i ϵ Е₊, получим

Воспользовавшись формулами связи различных показателей, содержащихся в разд. 2.6.5, получим соотношение

устанавливающее зависимость между параметрами потоков отказов и восстановлений и функцией готовности системы.

В теории надежности обычно предполагается, что каждый элемент системы может находиться только в двух возможных состояниях: состоянии работоспособности и состоянии отказа. Однако на практике это не всегда справедливо. Подобно тому, как это было сделано в настоящей главе, можно определить характеристики надежности для случая разбиения множества всех состояний на три и большее число подмножеств, а полученные здесь теоре­тические результаты естественным путем могут быть распространены на системы, элементы которых имеют несколько возможных состояний.