2.4. Законы распределения времени до отказа, наиболее часто используемые в теории надежности

Приведем наиболее часто используемые в теории надежности параметрические семейства распределений случайной величины ξ, т.е. распределений, зависящих от одного или нескольких параметров, Функция

задает экспоненциальное (или показательное) распределение. Экспоненциальным законом распределения можно аппроксимировать время безотказной работы большого числа элементов. В первую очередь это относится к элементам радиоэлектронной аппаратуры, а также к машинам, эксплуатируемым в период после окончания приработки и до существенного проявления посте­пенных отказов. Экспоненциальное распределение применяется в областях, связанных с "временем жизни": в медицине - продолжительность жизни больных; в надежности - продолжительность безотказной работы устройства; в психологии - время, затраченное на выполнение тестовых задач. Оно используется в задачах массового обслуживания, в которых речь идет об интервалах времени между телефонными звонками, или между моментами поступления техники в ремонтную мастерскую, или между моментами обращения клиентов.

Это распределение имеет один параметр λ=1/T₁, где T₁ — средняя наработка элемента до отказа. Таким образом, параметр λ характеризует число отказов элемента в единицу времени и называется интенсивностью отказов, он имеет размерность (время)^-1, например, час^-1 или лет^-1.

Плотность экспоненциального распределения задается как:

Функция надежности

определяет вероятность безотказной работы за время t (рис. 2.3). В данном случае интенсивность отказов есть величина постоянная λ(t) = λ.

Функция ресурса для экспоненциального распределения является линейной Λ(t) = λt.

Величина γ-процентного ресурса определяется по формуле

ПРИМЕР 2.3. Время безотказной работы элемента подчинено экспоненциальному распределению с параметром λ = 0,02 час^-1. Найти вероятность того что элемент проработает безотказно в течение 10 часов и в течение 50 часов.

Решение. Используя функцию надежности Р(t)=е^-λt, получим

Экспоненциальное распределение выделяется среди других распределение свойством "отсутствия памяти". Пусть X — время службы некоторого изделия с экспоненциальным законом распределения. "Отсутствие памяти" означает, что изделие, проработавшее время t, имеет такое же распределение, что и новое, только что начавшее работу. Математически это свойство выра­жается в виде следующего равенства:

для любых t, х≥0. Данное свойство как бы исключает износ и старение изделия.

Числовые характеристики экспоненциального распределения выражаются через его параметр: математическое ожидание М(Х)=1/λ, дисперсия D(X)=1/λ², среднее квадратическое отклонение (X)=1/λ????????.

Итак, при экспоненциальном законе отказов, на основании формул (2.11)— (2.18), между показателями надежности невосстанавливаемых систем существуют следующие зависимости:

Для характеристики постепенных отказов обычно используют другие законы распределения.

Нормальное распределение (распределение Гаусса) определяется плотностью

и зависит от двух параметров т и , которые являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением времени безотказной работы элемента. График плотности нормального распределения (кривая Гаусса) изображена на рис. 2.4.

Согласно закону больших чисел, распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие примерно равнозначные факторы. Нормальному распределению подчиняются ошибки измерения деталей, дальность полета снарядов и т. п. При большом времени работы элемента и наличии восстановления среднее число отказов имеет асимптотически нормальное распределение.

Для нормального распределения функция надежности вычисляется по формуле:

где — функция Лапласа, значения которой сведены в таблицы.

ПРИМЕР 2.4. Время безотказной работы элемента подчинено нормальному распределению с параметрами m=80 час и =20 час. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 60 часов.

Решение. Так как для нормального распределения функция надежности равна

то

Отметим важное свойство нормального распределения: сумма независимых случайных величин, имеющих нормальное распределение, также распределена по нормальному закону. При этом параметры суммы выражаются через параметры слагаемых, а именно: математическое ожидание суммы равна сумме математических ожиданий, дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

На рис. 2.5 представлены графики интенсивности отказов λ(t) для следующих параметров нормального распределения:

- т = 200 час и  = 100 час (кривая 1);

- т = 200 час и  = 80 час (кривая 2).

Усеченное нормальное распределение получается из нормального при огра­ничении интервала изменения случайной величины на промежуток [0,+∞). Плотность распределения записывается так же, как для нормального распределения, но с коэффициентом пропорциональности с:

Усеченное нормальное распределение зависит от двух параметров m₀ и ₀, где m₀ — значение случайной величины, соответствующее максимальному значению f(t) и называемое модой. Коэффициент с определяется из усло­вия нормировки:

откуда

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение усеченного нормального распределения определяются через параметры m₀ и ₀ по формулам:

где

В логарифмически нормальном распределении логарифм случайной величины подчиняется нормальному закону с плотностью:

где μ и s — параметры распределения. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение определяются в соответствии с формулами:

Логарифмически нормальное распределение применяют, например, для описания наработки подшипников качения. Вообще, оно удобно для описания случайных величин, представляющих собой произведение достаточно большого числа случайных величин, подобно тому, как нормальное распределение описывает сумму большого числа случайных величин.

Распределение Вейбулла является достаточно универсальным, благодаря возможности варьирования двух его параметров. Оно характеризуется плотностью распределения вероятностей:

с параметром формы α и параметром масштаба β. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение выражаются через эти параметры следующим образом:

где

— гамма-функция. Универсальность распределения Вейбулла объясняется следующим: при α=1 распределение превращается в экспоненциальное; при α<1 функции плотности и интенсивности отказов убывающие; при α>1 интенсивность отказов возрастающая; при α=2 функция λ(t) линейная и распределение Вейбулла превращается в распределение Рэлея с плотностью:

при α=3,3 распределение Вейбулла близко к нормальному. Наряду с логарифмически нормальным распределением, оно хорошо описывает наработку деталей по усталостным разрушениям, наработку до отказа подшипников, а также используется для оценки надежности деталей и узлов машин, в частности автомобилей, подъемно-транспортных и других машин.

Зависимости между показателями надежности в случае распределения Вейбулла имеют вид:

На рис. 2.6 представлены графики интенсивности отказов λ(t) для следующих параметров распределения Вейбулла:

- α = 2 и β = 200 час (кривая 1);

- α = 3 и β =200 час (кривая 2).

Гамма-распределение имеет плотность:

с параметрами α и β. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение связаны с этими параметрами соотношениями:

Вероятность безотказной работы элемента, имеющего гамма-распределение, выражается через интеграл

Параметр α, характеризующий асимметрию гамма-распределения, определяет вид характеристик надежности. При α > 1 интенсивность отказа возрастает, при α < 1 убывает, а при α = 1 становится постоянной, т. е. гамма-распределение превращается в экспоненциальное.

При целом α гамма-распределение называется распределением Эрланга порядка α. Сумма α случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение с параметром λ, имеет распределение Эрланга с параметрами α и β=1/λ. Вероятность безотказной работы элемента, имеющего распределение Эрланга, равна

Зависимости между показателями надежности в случае гамма-распределения имеют вид:

Смесь распределений определяется как линейная комбинация других распределений, например распределение с плотностью

где образует смесь п экспоненциальных распределений. Такое распределение называется гиперэкспоненциальным.

Смесь гамма-распределений

образует плотность обобщенного гамма-распределения и т. п.

Перечень полезных параметрических распределений можно продолжить. Например, если параметр λ экспоненциального распределения является случайной величиной, имеющей гамма-распределение с параметрами α и β, то в результате получается семейство распределений Парето с плотностью:

(?????????????)

При расчете надежности ряда изделий (рессор, подшипников и т. п.) применяют семейства распределений с дополнительным параметром сдвига или смещения. Так обобщением распределения Вейбулла является трехпараметрическое семейство распределений с плотностью:

Параметр сдвига t₀ интерпретируется как гарантированное время безотказной работы.

Если элемент имеет перерывы в работе, то закон распределения времени до его отказа изменяется. Пусть — вероятность безотказной работы элемента, если бы он работал непрерывно. Предположим далее, что на непересекающихся интервалах [а_к;b_к], k = 1,2,...,п элемент простаивает, причем время простоя не влияет на его надежность. Тогда вероятность безотказной работы элемента при наличии интервалов простоя характеризуется параметрами смещения и выражается равенством:

Здесь принято, что b₀ =0, а_n+1 = ∞.

ПРИМЕР 2.5. Предположим, что график вероятности безотказной работы элемента у = имеет вид, изображенный на рис. 2.4. Пусть этот элемент работает только на временных интервалах [0; 10], [30; 40], (60; 70],..., а на остальных интервалах элемент простаивает. Требуется определить вероятность безотказной работы элемента у = с учетом простоя.

Решение. График искомой функции у = изображен на рис. 2.7. На интервалах простоя вероятность безотказной работы не уменьшается (функция постоянна), а на интервалах простоя график у = смещается вправо на величину, равную суммарному времени простоя элемента.

Заметим, что интервалы простоя могут быть как детерминированными, так и случайными. В последнем случае необходима информация о законах распределения а_к и b_к. Учет перерывов в работе элементов может существенно повлиять на надежность системы, образованной этими элементами.