3.2.2. Дифракция плоской -волны на щели.

Пусть плоская волна падает на бесконечно длинную щель шириной в идеальном, поглощающем излучение любых частот, экране, находящемся в плоскости (рис. 3.9). Края щели параллельны оси и удалены от нее на расстояние .

Рис. 3.9

Исходный сигнал разложим в непрерывный спектр плоских монохроматических волн

(3.17)

и вычислим амплитуды спектральных компонентов. Для этого найдем фурье-образ :

(3.18)

Рассмотрим теперь независимую дифракцию всех частотных компонентов поля в приближении Кирхгофа. Применение этого приближения законно только в том случае, если длина волны намного меньше ширины щели, т. е. величины , но необходимо помнить, что сама по себе дельта-волна физического смысла не имеет, она является только компонентой разложения реального сигнала , спектр которого будем всегда предполагать удовлетворяющим условиям применимости интеграла Кирхгофа. Спектральную плотность составляющих, которые не удовлетворяют условиям Кирхгофа, считаем равной нулю. Тогда соответствующие компоненты результатов вычислений с дельта-волной при переходе к реальному сигналу автоматически обнуляются.

Используем известное решение задачи фраунгоферовой дифракции на щели и исследуем с его помощью идеализированную структуру поля, сформированного за экраном в дальней зоне для малых углов. Изменим постановку мысленного опыта и установим непосредственно за щелью идеальную линзу, которая, с одной стороны, «переносит» поле из бесконечности в заднюю фокальную плоскость, находящуюся на расстоянии от щели, а с другой, как мы видели, формирует в фокальной плоскости фурье-образ распределения амплитуд поля на входной поверхности линзы (в нашем случае – непосредственно за щелью) (рис. 3.10).

Рис. 3.10

В обычном представлении, для амплитуды поля монохроматической волны с длиной волны в точке имеем [5]:

,

(3.19)

где — распределение поля в плоскости экрана , содержащего щель. Разложив квадратный корень в ряд по координатам в окрестности точки и удерживая в показателе экспоненты лишь линейные члены, как обычно для фраунгоферовой зоны, получим:

Нас пока мало волнует предынтегральная экспонента, описывающая изменение фазы волны при распространении в линзе и от плоскости щели до фокальной плоскости. Обратим только внимание на две особенности поля в фокусе линзы (или на бесконечном удалении от экрана).

Во-первых, колебания поля в фокальной точке линзы для плоской монохроматической волны, нормально падающей на экран, сдвинуты по фазе на /2 относительно фазы, которую имело бы поле в этой точке, если бы линза была заменена плоскопараллельной пластинкой с той же оптической толщиной, что и у линзы в центре. Этот сдвиг, отраженный множителем i, не связан с задержкой волны в самой линзе, а является следствием дифракции.

Во-вторых, колебания поля с различной длиной волны (различной частотой) дают разный вклад в результирующее распределение амплитуд. Весовой множитель 1/ существенно меняет амплитуду дифрагированной волны по сравнению с исходной.

Дальнейшие вычисления удобно произвести, вернувшись к частотам колебаний. С учетом того, что вне зоны поле обращается в нуль, имеем:

Результат этого интегрирования при таков: в плоскости получаем хорошо известное распределение амплитуд вида , если щель освещена равномерно. Положив , имеем:

(3.20)

Пока мы не видим ничего нового в сравнении с полученными ранее соотношениями для дифракции монохроматической волны. Но нас интересует не распределение поля стационарной волны в плоскости , а импульсный отклик. Он образуется в результате суперпозиции всех амплитудных дифракционных картин излучения с разными частотами при учете амплитуды соответствующих вкладов и фазовых сдвигов. Эта ситуация встречается в оптике, когда рассматривают поле дифракции, или интерференции процессов с широким спектром. Обычное утверждение о результате сложения волн с разными частотами звучит так: «Из-за принципиального отсутствия когерентности таких волн произойдет усреднение колебаний по времени, и мы будем наблюдать равномерную освещенность.» Однако, в нашем случае результат сложения (интерференции) монохроматических компонентов поля оказывается не нулевым, несмотря на то, что функция автокорреляции исходного сигнала есть дельта-функция (т. е. в традиционном смысле процесс имеет нулевую длину когерентности). Для доказательства проинтегрируем (3.20) по частотам, т. е. вычислим обратное преобразование Фурье функции и, рассматривая результат суммирования на большом расстоянии , получим при импульсный отклик щели:

(3.21)

Результат проведенного простого расчета оказывается достаточно неожиданным: дифрагированный сигнал состоит из двух -импульсов одинаковой амплитуды и разного знака, первым приходит положительный -импульс, за ним — отрицательный (рис. 3.11). Оба импульса возникают в результате взаимодействия падающей дельта-волны со щелью. Более точно, как следует из дельнейшего анализа, с ее краями. Факт наличия дельта-импульсов в отклике щели на внешнее возмущение говорит о том, что в пространстве это возмущение тоже локализовано.

Рис. 3.11

Рассмотрим, как может возникнуть подобный сигнал. Для этого обратимся к рис. 3.12, на котором в детальной форме показана наиболее вероятная структура волн для некоторого момента времени . Рассеянные краями щели волны приобрели радиус , а проходящая без рассеяния плоская -волна находится на расстоянии от плоскости щели.

Рис. 3.12

Рассмотрим сигнал в точке наблюдения с координатами , расположенной вне зоны, освещенной падающей волной в приближении геометрической оптики (в области тени). Момент прихода первого -импульса соответствует расстоянию от ближайшего к точке наблюдения края щели. В самом деле, величина , стоящая в формуле (3.21) есть не что иное, как приближенное значение расстояния при условии . Именно такое разложение было применено при выводе исходных формул, использованных в наших вычислениях. Следовательно, первый, положительный импульс на рис. 3.11 есть импульс рассеянный верхним, ближайшим к Р, краем щели.

Аналогично, момент прихода второго импульса соответствует расстоянию от удаленного края щели. Этот импульс отрицателен. Расчет сигнала в точке, расположенной симметрично первой на таком же расстоянии от оси , приводит к точно такой же последовательности импульсов. Такие же импульсы будут наблюдаться в задней фокальной плоскости, они образованы рассеянием падающей волны краями щели в некотором направлении .

Перепишем полученное соотношение, введя угол дифракции (угол распространения краевой волны) и пренебрежем слагаемым, имеющим второй порядок малости по :

(3.22)

Разный знак импульсов говорит о том, что каждый край щели (напомним, в приближении Фраунгофера) формирует положительную цилиндрическую -волну в полупространство, соответствующее области тени в приближении геометрической оптики, и отрицательную -волну — в освещенную падающей волной область полупространства. На границе этих областей знак волны меняется скачкообразно, амплитуда волны обращается в нуль. В теории дифракции монохроматических волн, как хорошо известно, этому явлению соответствует скачок фазы колебаний на  при переходе из освещенной области в область тени (проходя через значение /2 непосредственно на границе [18]). Амплитуда краевых волн вблизи от границы свет/тень равна половине амплитуды проходящей волны [19] и, как мы видим из (3.21) быстро убывает с увеличением угла дифракции.

Для точки главного фокуса (она соответствует бесконечно удаленной точке в пространстве изображений, создаваемых линзой) прямым вычислением, положив в (3.19), получаем:

.

Оператор действует на «хорошую» функцию по следующему правилу:

Следовательно, новый сигнал, формирующийся на бесконечности, или в фокусе линзы, пропорционален первой производной входного импульса по времени. Этот вывод полностью совпадает с результатами теории дифракции Зоммерфельда для волновых процессов со сложной зависимостью амплитуды от времени.

На оси симметрии системы, показанной на рис. 3.12 при конечных расстояниях наблюдаются два -импульса: вначале появляется проходящий без дифракции положительный импульс участка прошедшей волны, а вслед за ним, отставая на

– отрицательный, образованный суперпозицией (интерференцией) двух краевых волн, излученных в освещенную проходящей волной область пространства. Этот импульс движется вдоль оси со скоростью больше скорости света, замедляясь до с по мере увеличения . Суммарная амплитуда двух краевых волн с ростом очень быстро приближается к амплитуде прошедшей волны. Полученный как разность двух одинаковых функций со сдвигом сигнал приближенно пропорционален первой производной входного сигнала и стремится к точному ее значению при , так как интервал между -импульсами стремится к нулю.

Отметим еще одну интересную особенность полученного решения. Если мы заменим щель на равную ей по ширине непрозрачную полоску, то согласно принципу Бабине за ней на оси симметрии, в области тени, можно наблюдать только две краевые волны, они имеют одинаковый (в нашем случае – положительный) знак. Складываясь, они формируют непосредственно на всей оси сигнал в виде положительной -функции. Этот сигнал полностью соответствует «пятну Пуассона». В рамках нашего приближения оно должно существовать при любых расстояниях за полоской, но амплитуда волны быстро убывает с увеличением угла дифракции (как ), поэтому ее легче увидеть на некотором конечном расстоянии от полоски.

Используя описанный этот эффект рассеяния волны на щели, нетрудно осуществить простой эксперимент с монохроматическим излучением, позволяющий определить знак краевой волны. Нужно использовать интерференцию проходящей и краевой волны. Рассмотрим амплитуду поля в точке наблюдения , находящейся на оси симметрии системы, показанной на рис. 3.12. Это – освещенная проходящей волной область пространства. Следовательно в точке существует прямая, проходящая, волна и две краевые волны. Амплитуды волн противоположны по знаку и приблизительно одинаковы (если . Для монохроматических волн это означает наличие начального сдвига фазы на по отношению к проходящей. При распространении волн между проходящей и краевой возникает дополнительная разность фаз , обусловленная разной длиной пути до точки наблюдения от центра щели и ее краев:

(3.23)

Учитывая начальный сдвиг фаз, мы видим, что при суммарной разности фаз кратной волны на оси симметрии окажутся в противофазе, и погасят (точнее, почти погасят) друг друга – в центре полоски, освещенной проходящей волной, появляется одна «черная» полоса. При уменьшении можно наблюдать 3, 4 и большее число темных полосок меньшего, чем первая контраста, так как амплитуда краевых волн уменьшается, а разность фаз волн меняется при движении точки наблюдения в поперечном направлении.

Более детальное исследование дифракции на щели, проведенное нами в предположении проводящего экрана, показало существенные отличия от предположений, лежащих в основе теории Кирхгофа. Каждая цилиндрическая волна, дойдя до противоположного края щели, возбуждает вторичную цилиндрическую волну меньшей амплитуды. Следовательно, в плоскости экрана, в пространстве за экраном и в фокальной плоскости линзы будет наблюдаться цуг затухающих по амплитуде импульсов чередующейся полярности. Влияние этого эффекта при рассмотрении поля монохроматической волны, невелико, поэтому теория Кирхгофа его не учитывает.

Если пренебречь повторным рассеянием импульсов, излученных краями щели, то рассмотренную картину дифракции можно представить как сумму волн, рассеянных на экране в форме двух полуплоскостей. Задача о дифракции -волны на полуплоскости была рассмотрена М.К.Лебедевым в [20], полученное решение при стремится к «односторонней» [4] -функции, меняющей знак на границе свет-тень. Это исследование подтвердило правильность изложенной выше модели рассеяния -волны.

Повторно обратим внимание на сделанное в начале этого раздела утверждение: вычислив импульсный отклик, мы делаем лишь первый шаг, решив математическую задачу, но нас всегда интересует реакция системы на реальный сигнал. Спектр этого сигнала должен удовлетворять условию применимости теории Кирхгофа, в частности, требованию . В начале главы было показано, что зная функцию , отклик системы на сигнал мы вычисляем с помощью соотношения:

В пространстве частот этой свертке соответствует произведение спектров

.

Если исходный сигнал удовлетворял условиям Кирхгофа и не содержал низкочастотных компонентов (т. е. при ), то обратятся в нуль и все компоненты спектра .