5.3. Особенности расчета резервированных систем

5.3.1. Ненагруженное резервирование с восстановлением

Система, состоящая из равнонадежных элементов - одного основ­ного и k резервных, может находиться в лю­бом из (k+2) состояний:

0 - все элементы работоспособны;

1 - один элемент в неработоспособном состоянии / восстанавливается;

j - когда j элементов в неработоспособном состоянии / восстанавливаются;

k+1 – когда все (k+1) эле­ментов в неработоспособном состоянии / восстанавливаются.

Предполагается, что при замене работающего эле­мента на резервный перерыва в работе системы не про­исходит, поэтому отказ системы наступает при одновре­менной неработоспособности основного и всех резервных элементов (состояние k+1).

Рассмотрим случай так называемого полностью ограниченного восстановления [5.2], когда имеется одна ремонтная бригада, обслуживающая систему и независимо от числа отказавших элементов одновременно может восстанавливаться только один (рис. 5.2, а).

Рис. 5.2. Схема состояний системы, состоящей из основного и k одинаковых элементов в ненагруженном резерве при ограниченном (а) и неограниченном (б) восстановлении

Предполагаем вариант резервирования с абсо­лютно надежными переключателями. В случае ненагруженного резерва (см. п. 4.2) резервные элементы до момента их включения вместо отказавших основных имеют интенсивность отказов λ = 0. Если число неработоспособных элементов оказывается больше одного, то существует очередь на ремонт.

Система дифференциальных уравнений имеет следую­щий вид:

(5.9)

При t→∞ система (5.9) переходит в систему алгебраи­ческих уравнений:

(5.10)

Система алгебраических уравнений (5.10) является зависимой и если попытаться ее решить как независимую систему, то будет получен тривиальный результат - P_j = 0 (j = 0, 1,…, k+1).

Для решения системы (5.10) необходимо добавить уравнение связи

, (5.11)

и из системы (5.10) исключить любое одно уравнение. Обычно исключают самое сложное.

В результате решения системы (5.10) совместно с уравнением (5.11) получим установившиеся значения коэффициентов простоя и готовности:

(5.12)

Если та же система, состоящая из k+1 элементов, обслуживается (k+1) ремонтными бригадами (неогра­ниченное восстановление), то очередь на ремонт отсутст­вует. Схема состояний для ненагруженного резерва и не­ограниченного восстановления представлена на рис. 5-2, б.

В результате решения системы уравнений при Р'_j (t) =0 получим:

(5.13)

5.3.2. Нагруженное резервирование замещением

Схемы состояний для системы, состоящей из одного основного и k элементов, в нагруженном резерве пред­ставлены на рис. 5.3.

Рассуждая аналогично п. 5.3.1, получим:

для ограниченного восстановления

(5.14)

Рис. 5.3. Схема состояний системы, состоящей из основного и k элементов в нагруженном резерве при ограниченном (а) и неограниченном (б) восстановлении

д ля неограниченного восстановления

(5.15)

Выражение (5.15) предста­вляет собой вероятность слу­чайного исхода, имеющего би­номиальное распределение. Это объясняется независимостью отказов и восстановлений эле­ментов.

На рис. 5.4 пред­ставлена схема состояний для нагруженной дублированной системы, где основной и резервный элемент имеют различные интенсивности отказов λ₁ и λ₂ и используется ограниченное восстанов­ление.

Обозначим состояния системы следующим образом:

0. оба элемента системы работоспособны;

1. первый элемент отказал, восстанавливается, вместо него включился в работу резервный;

2. второй элемент отказал, восстанавливается, вместо него включился в работу резервный;

3. и основной и запасной элементы отказали. Отказ системы и ее восстановление.

Рис. 5.4. Схема состояний системы, состоящей из двух элементов с разными интенсивностями отказов

В этом случае

.

При t→∞ К_П = Р₃, К_г = 1 - Р₃.

При подготовке к занятиям попробуйте записать систему дифференциальных уравнений (см. п. 5.2), а для установившегося режима – систему алгебраических уравнений.