3.3.2. Нормальное распределение

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

, (3.17)

где m_x, σ_x – соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для его использования нужно знать m_x и σ_x .

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

P(t) = , (3.18)

а интенсивность отказов - по формуле

= / , (3.18а)

где m_t , σ_t – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени жизни объекта.

При нормальном распределении случайная величина может принимать любые значения от -∞ до +∞. Поэтому использовать выражения (2.17), (2.18) можно только для случая m_t / σ_t >=2.5, когда вероятность появления отрицательных значений практически равна 0 (характерно для элементов систем автоматического управления [3.3]).

Если значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения времени безотказной работы таковы, что m_t/σ_t < 2.5 , ее распределение может быть лишь усечённым нормальным.

Для усеченного на интервале (t₁, t₂) распределения нормирующий множитель

(3.19)

условно принимается равным единице, если отношение средней наработки до отказа к среднему квадратическому отклонению наработки до отказа больше 2,5.

Показатели надежности при нормальном распре­делении вычисляется с помощью нормированной функ­ции Лапласа (интеграл Гаусса- Лапласа)

, (3.20)

где u = (t - m_t)/σ_t. Известно, что интеграл Гаусса-Лапласа – нечетная функ­ция [3.1, 3.2, 3.3].

Тогда получим формулы для вычисления:

вероятности отказа

Q (t) = 0,5 + Φ(u), (3.21)

вероятности безотказной работы

P (t) = 0,5 - Φ(u). (3.22)

Можно пользоваться нормальным законом распределения при анализе надежности элементов, подверженных процессам старения или износа.

3.3.3. Гамма-распределение

Гамма-распределение наработки на отказ получается (см. п. 3.1.2) при использовании потоков Эрланга к-го порядка. На практике это соответствует применению резервированного соединения кратности к-1 (см. п. 4.2). Отказ системы наступает только в том случае, если количество отказов элементов превысит к-1. Дадим выражение для расчета вероятности отказа:

. (3.23)

3.4. Модели случайных процессов

3.3.1. Марковские процессы

При решении задач анализа надежности сложных систем, имеющих множество состояний работоспособности, удобно использовать модель случайного процесса, дискретного по состояниям и непрерывного во времени, и определять вероятности нахождения системы в том или ином состоянии [3.4]. В общем случае число таких состояний больше или равно двум (для простой системы).

Обозначим:

S(t) = i – состояние системы в момент времени t равно i (0 ,

n – общее количество возможных состояний системы,

Δt ,

P_ij(t+Δt) – условная вероятность перехода системы из состояния S(t) = i в момент времени t в состояние S(t +Δt) = j (0 в момент времени t+Δt,

λ_ij – интенсивности перехода системы из состояния S(t) = i в момент времени t в состояние S(t+Δt) = j (0 в момент времени t +Δt.

Если вероятности перехода P_ij(t+Δt) (0 не зависят от поведения системы до момента времени t, то такой процесс называется марковским.

Если вероятности перехода P_ij(t+Δt) = P_ij(Δt) = λ_ijΔt не зависят от t, то такой процесс называется марковским однородным процессом.

Для такого процесса время пребывания системы в состоянии S(t) = i (0 подчиняется экспоненциальному распределению (см. п. 3.3.1).

Предполагается, что интенсивности переходов удовлетворяют условиям:

,

= , (3.24)

где - интенсивность сохранения состояния i (0 .

Вероятности (0 - пребывания системы в i состоянии определяются системой дифференциальных уравнений следующего вида:

- начальные условия, (3.25)

.

Система дифференциальных уравнений (3.25) называется уравнениями Колмагорова [3.4].

Будем использовать модель марковских однородных процессов для определения показателей надежности восстанавливаемых и резервированных систем .

Библиографический список

1. Гнеденко Б.В. Математические основы теории надежности / Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев. М.: Наука, 1966.

2. Голинкевич Т.А. Прикладная теория надежности: учебник для вузов / Т.А. Голинкевич. М.: Высшая школа, 1977.

3. Ястребенецкий М.А. Надежность автоматизированных систем управления технологическими процессами / М.А. Ястребенецкий, Г.М. Иванова. М.: Энергоатомиздат, 1989.

4. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных производственных систем / Г.В. Дружинин. М.: Энергоатомиздат, 1986.