2. Вычисление функций готовности и простоя нерезервированных систем

Нерезервированная система может находиться в лю­бой момент времени t в одном из двух состояний;

0 — система работоспособна;

1— система неработоспособна и ремон­тируется.

Обозначим вероятность этих со­стояний через P₀(t) и P₁(t).

Очевид­но, что K_Г(t) = P₀(t), K_П(t) = P₁(t). При длительной эксплуатации (t → ∞) мо­гут быть достигнуты установившие­ся значения коэффициента готовности - К_Г = Р₀ и коэффициента простоя - К_П = Р₁.

Рис. 5.1. Схема состояний нерезервированной системы. В прямоугольниках - номера состояний, над стрелками – интенсивности перехода

Рассмотрим вначале случай, ког­да время безотказной работы и вре­мя восстановления имеют экспоненциальные (показательные) распределения. На рис. 5.1 приведена схема состояний системы, на ко­торой изображены возможные состояния и интенсивности переходов. В соответствии со схемой рис. 5.1 и приведенными выше правилами написания дифференциальных уравнений имеем:

(5.1)

Если при t = 0 система находилась в работоспособ­ном состоянии, то начальные условия P₀(0) = 1, P₁(0) = 0 и в результате решения системы уравнений (5.1) получим:

(5.2)

Если при t = 0 система находилась в состоянии восстановления, то P₁ (t) = 1, Р₀(t) = 0 и в результате решения системы уравнений (5.1) получим:

(5.3)

При длительной эксплуатации t→ ∞ получаем стаци­онарные значения коэффициентов готовности и простоя, не зависящие от начальных условий:

(5.4)

Поскольку λ = 1/T₀, μ=1/T_В , то можно записать:

(5.5)

т. е. коэффициент готовности характеризует долю вре­мени, в течение которого система работоспособна, а ко­эффициент простоя - долю времени, в течение которого она ремонтируется (см. п.2.3.1)

Выражения для коэффициентов готовности и про­стоя можно записать непосредственно по схеме состоя­ний, используя следующее правило [5.1]:

Чтобы определить стационарные вероятности P_k нахождения системы в k-м состоянии, необходимо идти по направлению стрелок из каждого крайнего состояния в k-e по кратчайшему пути и пере­множить все интенсивности переходов, соответствующие проходимым стрелкам. Таким образом, проходятся все пути из всех крайних состояний в каждое состояние си­стемы.

При разветвленной схеме состояний некоторые уча­стки пути придется проходить несколько раз. При этом интенсивности переходов этих участков нужно учиты­вать только один раз. Вероятность Р_k нахождения системы в k состоянии определяется как

, (5.5,а)

где Δ_k, Δ_j — произведения интенсивностей переходов из всех крайних состояний соответственно в k-e и j-е при движении по кратчайшему пути в направлении стрелок; m+1 - число состояний системы.

При определении стационарных вероятностей этот алгоритм особенно удобно использовать в случаях об­легченного резерва, а также при таком числе ремонтных бригад r, когда m > r > 1.

С учетом вышесказанного, при движении по направлению стрелки из состоя­ния 1 в состояние 0 (см. рис. 5.1) интенсивность перехода равна μ, а из состояния 0 в состояние 1- λ. Следовательно,

P₀(t) = ; P₁(t) = .

При произвольном законе распределения хотя бы одной из случайных величин (времени безотказной ра­боты или времени восстановления) используется метод интегральных уравнений. Например, при показательном распределении времени безотказной работы и произ­вольном распределении времени восстановления G(τ) имеем интегральное уравнение

(5.6)

Для области преобразований Лапласа уравнение (5.6) имеет вид

. (5.6,а)

По (5.6) (5,6,а) принципиально возможно вычислить K_Г(t) = P₀(t) при любом распределении времени восста­новления. Однако превратить эту возможность в дей­ствительность удается не всегда.

При нескольких работоспособных состояниях

, (5.7)

где n - число работоспособных состояний; P_j(t) - ве­роятность j-го работоспособного состояния.

Часто число неработоспособных состояний значитель­но меньше числа работоспособных. При этом удобнее вы­числять коэффициент простоя:

, (5.8)

где P_i(t) - вероятность i-го неработоспособного состоя­ния; m+1 - общее число состояний.