4.4.3. Резервирование с учетом надежности переключателей

При общем нагруженном резервировании (рис. 4.2, в) вероятность безотказной работы системы

(4.34)

где P(t) - вероятность безотказной работы основной или резервной системы в течение наработки (0, t),

P_П(t) - вероятность безотказной работы переключаю­щего устройства в течение наработки (0, t).

При раздельном нагруженном резервировании веро­ятность безотказной работы

. (4.35)

4.4.4. Скользящее резервирование

Логическая схема представлена на рис 2.4, д. В случае одного нена­груженного резервного и m работающих элементов система может находиться в течение наработки (0, t) в одном из двух несовместных работоспособных состояниях:

- все элементы основной системы работают безотказно;

- отказал один основной элемент из общего числа m+1 элементов, причем переключатель ра­ботоспособен.

Суммируя вероятности этих состояний, по­лучаем:

(4.36)

где Р_П(τ) - вероятность безотказной работы переключа­теля до момента τ включения резервного элемента;

P(t-τ) - вероятность безотказной работы резервного элемента с момента τ его включения; f(τ) - плотность распределения наработки до отказа одного элемента основной системы;

P(t) - вероятность безотказной ра­боты одного элемента основной системы.

При показательном распределении наработки до отказа

(4.37)

где λ - интенсивность отказов работающего элемента;

λ_П - интенсивность отказов переключателя.

В случае двух резервных элементов необходимо рас­сматривать четыре несовместных состояния, при которых возможна безотказная работа системы.

____________

1. Александровская Л.Н. Современные методы безотказности сложных технических систем: учебник / Л.Н. Александровская, А.П. Афанасьев, А.А. Лисов. М.: Логос, 2003.

2. Теория надежности электронных систем в примерах и задачах / под ред. Г.В. Дружинина; Г.В. Дружинин, С.В. Степанов, В.Л. Шихматова, Г.А. Ярыгин. М.: Энергия, 1976.

3. Иыуду К.А. Надежность, контроль и диагностика вычислительных машин и систем / К.А. Иыуду. М.: Высшая школа, 1989.

5. Расчет надежности ремонтируемых систем

5.1. Общая характеристика методов расчета надежности ремонтируемых систем

Показатели надежности ремонтируемых невосста­навливаемых в процессе применения систем обычно вы­числяются на отрезке времени работы (по наработке), для восстанавливаемых в процессе эксплуатации систем используется календарное время.

Наиболее часто при расчетах надежности применяются два метода, которые условно на­зываются: метод интегральных уравнений и метод диф­ференциальных уравнений, (см. п. 3.4, марковская модель изменения состояния системы).

Метод интегральных уравнений основан на допуще­нии, что значение времени (наработки) между последо­вательными отказами и времени восстановления явля­ются независимыми случайными величинами. Составля­ются и решаются интегральные или интегро-дифференциальные уравнения, связывающие вероятности нахож­дения объекта в различных состояниях. При этом нет принципи­альных ограничений на законы распределения времени (наработки) между отказами и времени восстановления элементов. Обычно сравнительно просто составить сами уравнения. Однако решение этих уравнений часто встречает большие трудности. Точные конечные результаты полу­чены лишь для некоторых законов распределения для дублированных систем.

В методе дифференциальных уравнений использовано допущение об экспоненциальном распределении времени (наработки) между отказами и времени восстановления. По исходным данным об эксплуатации системы строится модель эксплуатации в виде графа (схемы) состояний и путей перехода из состояния в состояние. Развитие метода дифферен­циальных уравнений привело к формированию ряда правил определения функций вероятностей пребывания системы в определенном состоянии непосредственно по схеме состояний.

Правила применения метода дифференциальных уравнений

1. Перечисляются возможные состояния системы и составляется ее математическая (логическая) мо­дель в виде схемы состояний, на которой прямоугольни­ками или кружками изображаются возможные состоя­ния и стрелками - возможные направления переходов из одного состояния в другое на бесконечно малом отрезке времени (см. например, рис. 5.1). При этом надо иметь в виду, что на бесконечно малом отрезке времени возможен только либо один отказ, либо одно восстановление.

2. По схеме состояний со­ставляют систему дифференциальных уравнений для ве­роятностей состояний, которые формально записываются следующим образом:

• левые части уравнений содержат производные по времени вероятностей соответствующих состояний, а каждый член правой части уравнения получается пу­тем умножения интенсивности перехода, стоящей над стрелкой, связанной с данным состоянием, на соответст­вующую вероятность состояния;

• знак каждого произведения в правой части зависит от направления стрелки (плюс, если стрелка направлена острием к состоянию, и минус в про­тивном случае);

• число уравнений равно числу состояний; система дифференциальных уравнений должна быть дополнена нормировочным условием, состоящим в том, что сумма вероятностей всех состояний равна единице.

3. Решение системы дифференциальных уравнений с по­мощью преобразований Лапласа [5.1, 5.2, 5.3] или каким-либо дру­гим методом позволяет определить требуемые показа­тели надежности.

4. Если перерывы в работе системы допустимы, в каче­стве показателей надежности обычно используют функ­цию готовности K_Г(t) и функцию простоя K_П(t) или со­ответствующие коэффициенты (см. гл. 2). При этом часто рассматривают установившийся режим эксплуата­ции при t→ ∞. Тогда P'_j(t) = 0 и система дифференци­альных уравнений переходит в систему алгебраических уравнений.

5. Когда перерывы в работе системы недопустимы, в ка­честве показателей надежности используются (t) - условные вероятности безотказной непрерывной работы в течение заданного времени выполнения задачи при усло­вии, что в начальный момент времени все элементы си­стемы работоспособны. В рассматриваемом случае име­ются «поглощающие» состояния и необходимо решить полную систему дифференциальных уравнений при со­ответствующих начальных условиях.