3.2. Законы распределения дискретных случайных величин

3.2.1. Биномиальный закон распределения числа появления события а в m независимых испытаниях

Если вероятность события А в одном испытании равна р, вероятность непоявления события А равна q = 1 - p, число независимых испытаний равно m, то вероятность появления n cобытий в m испытаниях определяется согласно биномиальному распределению:

^. (3.8)

Свойства распределения следующие:

1. Число n – целое положительное число.

2. Математическое ожидание числа событий равно mp.

3. Среднеквадратичное отклонение числа событий

. (3.9)

При увеличении числа испытаний биномиальное распределение приближается к нормальному распределению ( см. п. 3.3.2) со средним значением n/m и дисперсией p(1 - p)/m.

Биномиальное распределение часто используется при проведении испытаний на надежность.

3.2.2. Пуассоновское распределение появления n событий за время t

Условия реализации распределения – простейший поток отказов (см. п. 3.1.1), для которого вероятность появления n событий определяется как

.

Свойства распределения следующие:

- математическое ожидание числа событий за время t равно λt,

- среднеквадратичное отклонение числа событий ,

- время возникновения отказов подчиняется экспоненциальному распределению.

3.3. Законы распределения непрерывных случайных величин

3.3.1. Экспоненциальное распределение

Как было отмечено выше (см. п. 3.1.1), экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы реализуется в случае простейшего потока отказов, когда рассматривается вероятность непоявления отказов. Это распределение однопараметрическое, то есть закон распределения случайной величины зависит только от одного параметра λ = const .

Показатели безотказности для экспоненциального распределения определяются так:

вероятность безотказной работы

, (3.10)

вероятность отказа

, (3.11)

плотность вероятности отказа

, (3.12)

интенсивность отказа

, (3.13)

среднее время безотказной работы

. (3.14)

Таким образом, зная среднее время безотказной работы Т₁ (или постоянную интенсивность отказов λ), можно в случае экспоненциального распределения вычислить любой показатель безотказности.

Отметим, что вероятность безотказной работы на интервале, превышающем среднее время Т₁, при экспоненциальном распределении будет менее 0,368:

Р(Т₁) = е ^–1 = 0,368 ( см. рис. 3.1).

Длительность периода нормальной эксплуатации до наступления старения может оказаться существенно меньше Т₁, то есть интервал времени, на котором допустимо использование экспоненциальной модели, часто бывает меньшим среднего времени безотказной работы, вычисленного для этой модели.

Рис. 3.1. График экспоненциального распределения

Это легко обосновать, воспользовавшись значением дисперсии времени безотказной работы, которое [3.1, 3.2, 3.3] для случайной величины t равно:

. (3.15)

После некоторых преобразований получим:

. (3.16)

Таким образом, наиболее вероятные значения наработки, группирующиеся в окрестности Т₁, лежат в диапазоне , то есть от t = 0 до t = 2Т₁.

Видно, что объект может отработать и малый отрезок времени и время t=2Т₁, сохранив λ = const. Но вероятность безотказной работы на интервале 2Т₁ крайне низка и равна e^-2 = 0,135.

Важно отметить, что если объект отработал, предположим, время t без отказа, сохранив λ = соnst, то дальнейшее распределение времени безотказной работы будет таким же, как в момент первого включения при t = 0 .

Другие распределения не имеют указанного свойства. Из рассмотренного следует на первый взгляд парадоксальный вывод: поскольку за все время t устройство не стареет (не меняет своих свойств), то нецелесообразно проводить профилактику или замену устройств для предупреждения внезапных отказов, подчиняющихся экспоненциальному закону. Однако это не так, поскольку, как только что было показано, можно использовать экспоненциальное распределение только на отрезке времени работы, меньшем чем Т_1.