§3. Повторение испытаний Решение типовых задач
Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три из шести? ( Ничьи во внимание не принимаются).
Пусть событие А - победа первого игрока в одной партии:
.
Вероятность победы
второго игрока равна
,
т.к. шахматисты равносильны. Вероятность
выиграть две партии из четырех находим
по формуле Бернулли:
.
Аналогично находим вероятность выигрыша трех партий из шести:
.
Т.к.
,
то вероятность выиграть две партии из
четырех больше, чем три из шести.
▲
Завод «Золотая балка» отправил в Москву 1500 бутылок вина «Каберне». Вероятность того, что в пути бутылка может разбиться, равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет разбито не более 4 - х бутылок (событие А).
Искомая вероятность равна
.
Т.к.
,
,
то
.
Вероятность события А
найдем используя формулу Пуассона
(3.2):
.
▲
Вероятность отказа элемента в схеме в течение суток равна 0,01. В схеме имеется 500 одинаковых элементов. Какова вероятность того, что в течение суток откажут 3 элемента?
По условию задачи
событие А
- отказ элемента в течение суток. Тогда
;
;
.
Применим формулу Пуассона (3.2):
.
▲
Примечание. Искомая вероятность, вычисленная по точной формуле Бернулли (3.1'), составляет
.
Относительная погрешность решения по приближенной формуле Пуассона составляет 0,1%.
Стрелок стреляет по мишени 240 раз. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность того, что стрелок попадет 160 раз; в) вероятность того, что число попаданий будет заключено между числами 150 и 170.
а) Наивероятнейшее число попаданий находим из условия (3.7)
,
т.е.
,
или
.
Последнему
неравенству удовлетворяет единственное
целое число
.
Это и есть наивероятнейшее число
попаданий при 240 выстрелах.
б) Вероятность того, что стрелок попадет 160 раз из 240, найдем по локальной теореме Муавра - Лапласа (по формуле (3.4)):
,
где
.
Т.к. функция
- четная, то по таблице (см. приложение
1)
.
Тогда
.
в) Вероятность того, что число попаданий будет заключено между числами 150 и 170, найдем по интегральной теореме Муавра - Лапласа (используем формулу (3.6)):
,
где k1=150, k2=170.
Найдем
;
.
По таблице (см. приложение 2) находим
;
.
Тогда
.
▲
Корабль выходит из строя, если получит не менее пяти попаданий в надводную часть или два попадания в подводную часть. Определить вероятность выхода из строя корабля при пяти попаданиях, если вероятности попадания в надводную и подводную части при попадании в корабль относятся как семь к трем.
Пусть событие А-
попадание снаряда в надводную часть,
-
в подводную. Тогда
т.к. по условию вероятности попадания в надводную и подводную части относятся как 7:3.
При пяти попаданиях в корабль возможны следующие случаи распределения попаданий:
Надводная часть |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
Выход корабля из строя |
+ |
- |
+ |
+ |
+ |
+ |
Т.к. корабль выходит из строя при всех случаях, кроме второго, то найдем вероятность невыхода корабля из строя и вычтем ее из единицы. По формуле Бернулли:
Тогда вероятность выхода корабля из строя равна
▲