5. Примеры неправильного применения закона диссипации.

Закон диссипации характеризует потери активности движения данной формы, связанные с преодолением зарядом dЕ внутреннего сопротивления проводника. В связи с этим разность потенциалов Р_д, входящая в дифференциальное уравнение (483) диссипации, должна быть обязательно обусловлена только потерями на трение. В противном случае неизбежны ошибки.

Если система располагает одной степенью свободы (гипотетический случай, к которому иногда можно свести возникшую на практике задачу), то любая разность (любое изменение) потенциалов dР в ней может быть вызвана только диссипацией – положительной или отрицательной. Поэтому в условиях одной степени свободы (n = 1) закон диссипации, выраженный дифференциальным уравнением (483), может использоваться без всяких оглядок.

Если система располагает несколькими степенями свободы (n > 1), то картина существенно изменяется. При этом подставлять наблюдаемое в опыте значение разности потенциалов dР в формулу (483) без предварительного анализа явления нельзя. Иначе может быть получен неверный результат.

Действительно, согласно основному постулату, каждый потенциал есть однозначная функция всех зарядов. Поэтому разность dР данного потенциала может быть обусловлена не только переносом данного заряда (диссипацией), но и изменениями всех других зарядов из числа n связанных степеней свободы. В этих условиях из общей (наблюдаемой) разности dР надо выделить диссипативную часть dР_д, вызванную внутренним сопротивлением системы, и только эту диссипативную разность dР_д подставлять в уравнение (483) закона диссипации.

Легче всего диссипативная часть разности потенциалов выделяется в том случае, если известно сопротивление системы. При этом из уравнения (483) закона диссипации целесообразно исключить разность потенциалов, выразив ее непосредственно через сопротивление. Например, из формул (313) и (483) получаем

Q_д = - Р_дЕ = JFRЕ = IRЕ дж. (490)

Здесь величину заряда можно выделить через поток или, наоборот, поток – через заряд. Из выражений (314) и (490) находим

Q_д = J²F²Rt = I²Rt дж (491)

или

Q_д = (R/t)Е² дж (492)

Формулы, подобные (490) – (492), можно получить для любого вида сопротивления. Преимущество этих формул заключается в том, что они не содержат разность потенциалов, которая может возникать вследствие целого ряда причин, а не только вследствие наличия внутреннего сопротивления. Это исключает возможность ошибки.

Рассмотрим несколько конкретных примеров неправильного применения закона диссипации.

Первым характерным примером может служить гидрокинетическая система, для которой по формуле (489) определяются гидродинамические потери на трение. Система располагает двумя степенями свободы – гидродинамической и кинетической. Поэтому разность давлений р в общем случае может быть вызвана не только диссипацией, но и изменением второго заряда – количества движения К, т.е. скорости  жидкости.

В частном случае стационарного течения несжимаемой жидкости по каналу постоянного сечения (рис. 23-а) полная разность давлений р на участке канала х равна ее диссипативной составляющей р_д. При этом скорость жидкости по длине канала не изменяется, так как вторая – кинетическая – форма движения себя не проявляет. В этом случае в расчетную формулу (489) подставляется наблюдаемое значение р = р_д.

Рис. 23. Схема течения жидкости на цилиндрическом (а), сужающемся (б) и расширяющемся (в) участках канала.

Если канал имеет переменное сечение, то скорость потока изменяется по длине: происходит превращение активности гидродинамической формы движения в активность кинетической и наоборот. В этих условиях фактическая разность давлений р может быть больше (р > р_д, рис. 23-б) или меньше (р < р_д, рис 23-в) диссипативной составляющей р_д. Подставить величину р в формулу (489) было бы неверно. Для правильного определения теплоты диссипации надо из разности р выделить величину р_д и ею воспользоваться для расчета.

При сильном увеличении сечения канала (рис. 23-в) давление на выходе может стать больше давления на входе. Это не значит, что жидкость должна потечь в обратном направлении или теплоты диссипации должна не выделяться, а поглощаться. Это только означает, что в дело вмешалась вторая степень свободы и поэтому надо быть начеку, чтобы не ошибиться.

Второй характерный пример относится кинетическогравитационной системе – тележке на рельсах. Если тележка движется с трением по горизонтально расположенным рельсам, то ее скорость  постепенно уменьшается. Теплота диссипации определяется по формуле

Q_д = - К дж. (493)

В данном случае разность скоростей  отрицательна, ее появление обусловлено эффектом трения, гравитационная форма движения на величину  не влияет, так как тележка двигается горизонтально.

Если тележку заставить двигаться по инерции в гору, то наблюдаемое уменьшение скорости  будет заметно превышать диссипативное _д. Превышение  над _д связано с действием сил гравитации. При этом активность кинетической формы движения превращается в активность гравитационной. Величиной  было бы неправильно пользоваться для расчетов по формуле (493).

Еще более резкая разница между  и _д получится, если тележка ударится о препятствие. При абсолютно упругом соударении наблюдаемое изменение скорости

 =2 м/сек,

ибо тележка после удара изменяет скорость на обратную, в то время как _д имеет небольшое значение. Ошибка при подстановке в выражение (493) вместо разности _д величины  получается максимальной. При абсолютно неупругом (пластическом) соударении тележка останавливается, поэтому ошибки в расчетах не возникает, т.к.

 = _д =  м/сек.

Во всех подобных случаях расчет заметно упрощается, если в формулу для теплоты (или термического заряда) диссипации вместо разности потенциалов Р подставить величину заряда (потока) и сопротивление системы. Именно с этой целью правые части формул (490) – (492) преобразованы так, чтобы можно было пользоваться более удобными для расчета величинами.

Формулы типа (489) и (493), записанные в конечных разностях, в общем случае справедливы для сравнительно малых разностей потенциалов р и . При значительных разностях потенциалов расчетная формула должна быть получена путем соответствующего интегрирования общего выражения (489). При этом должна быть учтена связь, существующая между величинами dР и dЕ. Например, формула (493) для абсолютно неупругого соударения тележки с препятствием имеет вид

Q_д = (1/2)m² дж, (494)

так как разность  = , а изменение количества движения и изменение скорости связаны соотношением

dК = md нсек/м.