§ 27. Совместное применение четырех главных законов.

1. Энергия идеального тела.

Решение различных практических задач связано с составлением и решением (включая интегрирование) соответствующих дифференциальных уравнений, в основе которых лежат уравнения основных законов. Некоторые аспекты вопроса о решении уравнений состояния второго порядка рассмотрены в § 23. В общем виде этот вопрос обсуждается в § 78. Здесь же говорится о некоторых возможностях использования уравнений первых четырех главных законов.

В общем случае проинтегрировать дифференциальное уравнение состояния первого порядка (8) нельзя, если не известна связь, существующая между зарядами и потенциалами. В классической термодинамике принято задаваться простейшими условиями, при которых некоторые заряды или потенциалы остаются постоянными. В более сложных случаях надо сочетать дифференциальные уравнения состояния различных порядков.

Очень простые результаты получаются, если систему можно считать идеальной. При этом свойства третьего порядка типа А, К и т.д. суть величины постоянные. Например, для идеального тела с одной внутренней степенью свободы (n = 1) из уравнений (2) и (103) [точнее (2), (140) и (141)] получаем:

dU = АЕdЕ дж; (169)

U = (1/2)АЕ² = (1/2)РЕ = (1/2)КР² дж. (170)

Именно в таком виде в физике определяется энергия применительно к различным степеням свободы. Например, так находится кинетическая энергия движущегося тела [формулы (33) и (36)], энергия сжатого или растянутого упругого тела и т.д. Исключение составляет лишь термическая форма движения, для которой ошибочно принимается, что энергия пропорциональна температуре в первой степени.

Для идеального тела при n = 2 из уравнений (5) и (142) находим:

dU = А₁₁Е₁dЕ₁ + А₂₂Е₂dЕ₂ + А₁₂Е₂dЕ₁ + А₂₁Е₁dЕ₂ дж. (171)

Применение соотношения взаимности (124) четвертого закона позволяет переписать это уравнение в виде

dU = А₁₁Е₁dЕ₁ + А₂₂Е₂dЕ₂ + А₁₂(dЕ₁Е₂) дж. (172)

После интегрирования имеем:

U = (1/2)А₁₁Е₁² + (1/2)А₂₂Е₂² + А₁₂Е₁Е₂ дж; (173)

U = (1/2)Р₁Е₁ + (1/2)Р₂Е₂ дж; (174)

U = [(1/2)А₂₂Р₁² + (1/2)А₁₁Р₂² - А₁₂Р₁Р₂]/(А₁₁А₂₂ – А₁₂²) дж. (175)

Как видим, энергия идеального тела зависит не только от основных коэффициентов, но и от перекрестных, которыми определяется взаимное влияние внутренних степеней свободы. Проще всего выглядят уравнения типа (174), выраженные через заряды и потенциалы одновременно. В этих уравнениях взаимное влияние степеней свободы завуалировано. Аналогичную форму имеют уравнения, определяющие энергию идеального тела при большом числе степеней свободы.

2. Идеальный микроскопический ансамбль.

Большой интерес представляет возможность определить методами общей теории энергию ансамбля в условиях микромира. Если соответствующий микроансамбль («элементарную» частицу) можно рассматривать как идеальное тело, тогда при n = 1 (гипотетический случай) получается уравнение типа (170):

U = Ае_кв² = Ре_кв = КР² дж (176)

или (для k квантов)

U = Аk²е_кв² = Рkе_кв = КР² дж. (177)

Здесь опущены множители 1/2 по соображениям, которые подробно изложены в § 9. Коэффициенты А и К могут быть легко вычислены, если известны заряд и потенциал микроансамбля.

Если идеальная микрочастица состоит из двух различных зарядов (n = 2), тогда расчетные формулы имеют вид уравнений (173) – (175). Удобнее всего пользоваться соотношением (174), записанным следующим образом:

U = Р₁k₁е_кв1 + Р₂k₂е_кв2 дж, (178)

где k₁ и k₂ - количества квантов первого и второго зарядов.

При n зарядах (степенях свободы) энергия идеального микроансамбля находится с помощью выражения:

U = дж. (179)

Частными случаями этого уравнения являются известные в физике формулы, определяющие энергию микрочастиц (имеются в виду, например, уравнение закона Планка, уравнение, определяющее энергию электрона через его заряд и потенциал внешнего электрического поля, и т.д.). Теперь ясно, что эти формулы справедливы только для идеальных условий.