§ 49. Закон Видемана-Франца.

1. Вывод закона.

В 1853 г. Видеман и Франц экспериментально установили закон, названный их именем. Согласно закону Видемана-Франца, отношение коэффициента теплопроводности L_Q к коэффициенту электропроводности L_ имеет одно и то же значение для всех металлов, взятых при одинаковой температуре, т.е.

L_Q/L_ = const. (446)

В 1872 г. Лоренц расширил закон Видемана-Франца, добавив, что отношение проводимостей пропорционально абсолютной температуре. Имеем

L_Q/L_ = Т в²/град. (447)

Согласно классической электронной теории электропроводности Друде и Лоренца, коэффициент пропорциональности  имеет следующее постоянное значение:

 = 210^-8 в²/град² = 20 нв²/град². (448)

Выведем теперь закон Видемана-Франца и Лоренца теоретически из закона отношения проводимостей.

В частном случае термоэлектрического ансамбля из формулы (440) получаем

L_/L_ =  = К_/К_ в²/град². (449)

В этом равенстве все коэффициенты взяты при постоянных прочих потенциалах. Оно написано для одной килограмм-молекулы вещества, поэтому соответствующие величины отмечены индексом .

Выразим термопроводность L_ и термоемкость К_ через теплопроводность L_Q и теплоемкость С_ с помощью формул (139) и (329), а электроемкость К_ через коэффициент R_ и температуру посредством формулы (149):

L_/(ТL_) =  = R_С_ в²/град². (450)

Эту зависимость можно переписать в виде

L_Q/L_ = Т = R_С_ Т в²/град. (451)

В правой части этого равенства стоят коэффициент R_ и мольная теплоемкость С_ , обладающие, согласно приближенному закону тождественности (§ 26), примерно одинаковыми значениями для всех металлов. Следовательно, при постоянной температуре постоянные значения имеют коэффициент R_, теплоемкость С_, коэффициент  и произведение Т. Таким образом, в частном случае, когда Т = const, из равенства (451) вытекает закон Видемана-Франца (446).

Одновременно из теоретической формулы (451) вытекает соотношение (447) Лоренца.

2. Анализ закона.

Из формулы (450), выведенной методами общей теории, следует, что коэффициент  не может быть величиной постоянной, так как он пропорционален теплоемкости:

 = R_С_ в²/град². (452)

Теплоемкость с уменьшением температуры (точнее – термического заряда) уменьшается до нуля (см. теорему о нулевом значении заряда, § 23). Таким образом, возникает исключительно ценная возможность проверить предсказанное общей теорией уменьшение коэффициента  до нуля при стремлении к нулю температуры Т, в то время как, согласно общепринятой точке зрения, должны удовлетворяться равенства (446) – (448). Лучшей проверкой является сопоставление экспериментальных значений коэффициента  и теплоемкости С_ при постоянном давлении, найденных независимыми методами.

На рис. 20-а приведены опытные значения мольной теплоемкости различных металлов (алюминий, медь, свинец, серебро и цинк), заимствованные из работы Шредингера, на рис. 21-а – опытные значения коэффициента , полученные Мейснером, Лисом и Егером и Диссельхорстом для тех же металлов [19]. Сравнение кривых на обоих рисунках свидетельствует о полной тождественности результатов.

Для большей убедительности сравнения теплоемкости на рис. 20-б перестроены по методу Шредингера с использованием понятия характеристической температуры , фигурирующей в теории теплоемкости Дебая. Величина  постоянна для каждого данного вещества. Теплоемкости сравниваются не при одинаковых температурах Т, а при одинаковых относительных температурах Т/. В этих условиях вместо пучка кривых (рис. 20-а) получается одна общая кривая (рис. 20-б).

Рис. 20. Зависимость мольной теплоемкости от температуры:

1 – свинец; 2 – серебро; 3 – цинк; 4 – медь; 5 – алюминий.

Рис. 21. Зависимость коэффициента от температуры

(обозначения те же, что и на рис. 20).

Учитывая общность природы таких понятий, как емкость и проводимость, автор применил тот же метод сравнения для коэффициентов  - они сравниваются при одинаковой относительной температуре Т/. Сплошная кривая, соответствующая опытным значениям теплоемкости, перенесена с рис. 20-б на рис. 21-б. Опытные значения коэффициента  (изображены точками) на рис. 21-б взяты из графиков рис. 21-а. Как видим, во всем диапазоне изменения температуры коэффициент  практически равен теплоемкости С_, умноженной на коэффициент пропорциональности

R_ = 10^-12 кг-атом/(фград). (453)

Благодаря применению относительной температуры Т/ все кривые  (рис. 21-а), подобно кривым теплоемкости по Шредингеру, собрались в одну общую кривую (рис. 21-б).

Опытные значения коэффициента , заимствованные из работы [19], приведены также в табл. 1. Они сравниваются с теоретическими значениями _т того же коэффициента, найденными по теплоемкостям.

Таблица 1. Коэффициенты  для различных металлов, нв²/град².

Металл	Т, К												R1012 кг-атом фград
	103		173		223		273		291		373
	т		т		т		т		т		т	
Алюминий	11	15	18	18,1	19,5	19,8	20,9	20,9	21,2	21,3	22,2	22,7	0,93
Железо	13	31	21,4	29,8	24,8	29,3	26,5	29,7	27,2	29,9	29,2	28,5	1,07
Манганин	-	59,4	-	41,6	-	35,8	-	34,1	-	33,4	-	29,7	-
Медь	15,7	18,5	21	21,7	22,5	22,6	23,3	23	23,5	23,2	24	23,2	1,0
Свинец	25,2	25,5	25,5	25,4	26	25,2	26,4	25,3	26,5	25,1	27	25,1	1,0
Серебро	20,1	20,4	23,2	22,9	24	23,6	24,1	23,3	24,2	23,3	24,5	23,7	1,0
Цинк	18,7	22	22,6	23,9	23,6	24	24	24,5	24,1	24,3	24,2	23,3	1,0

Анализ имеющихся опытных данных показывает, что предсказания общей теории оправдываются очень хорошо: коэффициент  есть величина переменная, изменяющаяся по тому же закону, что и теплоемкость. Это заставляет внести в известные законы Видемана-Франца и Лоренца серьезные поправки. Во-первых, металлы надо сравнивать не при одинаковых абсолютных температурах Т, а при одинаковых относительных температурах Т/: одинаковым значениям Т соответствуют разные теплоемкости (рис. 20-а) и коэффициенты  (рис. 21-а). Во-вторых, следует пользоваться не постоянным значением коэффициента  [формула (448)], а переменным, определяемым формулами (452) и (453) или кривой на рис. 21-б.