4. Несколько степеней свободы.

Перечисленные выше законы относятся к воображаемому случаю, когда макроскопическая система располагает только одной степенью свободы. Открыватели этих законов – Фурье, Ом, Фик, Дарси, Ньютон и другие ученые – не подозревали о существовании всеобщей связи явлений, о том, что разность любого данного потенциала вызывает появление потоков не одного, а сразу всех зарядов из числа внутренних степеней свободы.

В середине прошлого века был известен только один пример, намекавший на существование определенных связей между различными степенями свободы. Но этот пример отличается малой наглядностью, так как относится к одной форме движения – к случаю распространения теплоты вдоль трех направлений (х, у, z) анизотропного кристалла. Соответствующие уравнения переноса имеют следующий вид:

J_x = L_xxY_x + L_xyY_y + L_xzY_z ; (355)

J_y = L_yxY_x + L_yyY_y + L_yzY_z ; (355)

J_z = L_zxY_x + L_zyY_y + L_zzY_z , (355)

где

L_xy = L_уx ; L_xz = L_zx ; L_yz = L_zу (336)

В 1931 г. Онзагер распространил линейные уравнения переноса (335) на любые явления и любое число потоков. На этой основе им была создана термодинамика необратимых процессов [29], которая справедлива для условий, близких к равновесным. Термодинамика Онзагера вытекает как частный случай из общей теории (§ 86).

§ 38. Нестационарный режим переноса.

1. Вывод уравнения переноса для n = 1.

В условия нестационарного режима происходит аккумулирование и выделение телом заряда. Поэтому уравнения закона переноса непосредственно не могут быть использованы для расчета. С их помощью должны быть выведены более сложные расчетные дифференциальные уравнения. В настоящем параграфе рассматривается простейший случай таких уравнений, относящихся к идеальному телу и одномерному полю потенциала.

Предположим, что в проводник слева входит поток J + dJ, в справа выходит J - (рис. 9). Величина потока

J = - L(P/x).

Рис. 9. Схема распространения заряда в условиях

нестационарного режима и одномерного поля.

На участке dх системы приращение потока равно (J/х)/dх.

За время dt на этом участке выделяется заряд в количестве

dE = (J/х)/dхFdt = - L(²P/x²)dVdt, (337)

где

dV = Fdх м³.

Проводимость считается величиной постоянной (тело идеальное). Согласно законам сохранения заряда и состояния, выделивший заряд (он превращается из подвижного в неподвижный - § 39) изменяет потенциал системы на величину

- (P/x)dt,

причем

dE = - (P/t)dtdV, (338)

где  - плотность системы, кг/м³;

 - удельная массовая (отнесенная к единице массы) емкость системы,

 = dК/dm. (339)

Приравняв правые части формул (337) и (338), окончательно получим

U = LZ, (340)

где U и Z - новые (динамические) поток и сила,

U = (P/t), (341)

Z = ²P/x². (342)

Выражение (340) является дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Оно связывает между собой изменения потенциала во времени с изменениями потенциала в пространстве (с координатой). Его можно переписать также в виде

P/t = D(²P/x²), (343)

где D - так называемая диффузивность,

D = L/(). (344)