§ 37. Примеры применения уравнений закона переноса.

1. Общее уравнение для n = 1.

Предположим, что заряд распространяется в условиях стационарного режима и одномерного поля потенциала. Тогда распределение потенциала вдоль тела будет отвечать уравнению прямой линии (рис. 8). В гипотетическом смысле существования только одной формы движения (n = 1) удельный поток и количество перенесенного заряда можно определять с помощью частных выражений типа (237), (247) и (267):

J = - L(dP/dx); (315)

dE = JFdt = - L(dP/dx)Fdt. (316)

Рис. 8. Схема распространения заряда в условиях стационарного режима и одномерного поля.

Эти частные уравнения относятся ко всем формам движения. В этом смысле они являются весьма общими. Из них вытекают все известные ранее законы переноса. Эти законы принадлежат макромиру, остановимся на них более подробно.

2. Известные законы.

В 1822 г. Фурье опубликовал свой закон теплопроводности. Согласно закону Фурье, удельный поток и количество переданного тепла определяются уравнениями (обозначения заимствованы из § 10):

J_Q = - L_Q(dT/dx) вт/м²; (317)

dQ_Q = J_QFdt = - L_Q(dT/dx)Fdt дж, (318)

где L_Q – коэффициент теплопроводности, т.е. проводимость по отношению к термической работе – теплоте, вт/(мград).

В 1826 г. Ом экспериментально установил закон электропроводности его имени. Согласно закону Ома, удельный поток J_ и количество переданного электрического заряда d определяются уравнениями

J_ = - L_(d/dx) а/м²; (319)

d = J_Fdt = - L_(d/dx)Fdt к, (320)

где L_ - удельная электропроводность, 1/(омм).

В 1855 г. Фик экспериментально нашел закон диффузии (первый закон Фика), согласно которому удельный поток диффундирующего вещества пропорционален градиенту концентрации. Теперь вместо концентрации используется диффузионный потенциал, а уравнения переноса записываются в виде

J_дф = - L_дф(d_дф/dx) кг/(м²сек); (321)

dm = J_дфFdt = - L_дф(d_дф/dx)Fdt кг, (322)

где L_дф - диффузионная проводимость, кг²/(нм²сек).

В 1856 г. Дарси установил закон фильтрации (течения) жидкости и газа через капиллярнопористое тело. Закон Дарси можно записать следующим образом:

J_фт = - L_фт(dр/dx) м/сек; (323)

dV = J_фтFdt = - L_фт(dр/dx)Fdt м³, (324)

где L_фт - проводимость по отношению к объему,

L_фт = К/ м⁴/(нсек); (325) К – коэффициент фильтрации Дарси, м/сек;

 - удельный вес фильтрующейся жидкости или газа, н/м³.

Как видим, все перечисленные частные законы переноса в точности соответствуют общим формулам (315) и (316).

3. Новые законы.

Автором было установлено, что все формы движения подчиняются общим законам переноса, выраженным уравнениями (315) и (316). В частности, для термических явлений взамен закона теплопроводности Фурье автором в свое время был предложен закон распространения термического заряда [3]:

J_ = - L_(dТ/dx) вт/(м²град); (326)

d = J_Fdt = - L_(dТ/dx)Fdt дж/град, (327)

где L_ - коэффициент термопроводности (не смешивать с коэффициентом теплопроводности), т.е. проводимость по отношению к термическому заряду, вт/(мград²).

Связь между теплопроводностью и термопроводностью устанавливается с помощью соотношений

J_Q = ТJ_ вт/м²; (328)

L_Q = ТL_ вт/(мград), (329)

которые найдены на основе выражения (59).

Следует отметить, что общая теория зачинается с термического заряда, т.е. с того момента, когда было введено понятие термического заряда и ему была присвоена способность распространяться под действием разности температур. С этого момента термические явления потеряли ореол исключительности и оказалось возможным установить общие законы, справедливые для всех без исключения элементарных форм движения. Под этим углом зрения частные формулы (326) и (327) приобретают особую важность.

Второй конкретный пример касается гидродинамических явлений. Поток реальной вязкой жидкости или газа, подчиняющийся закону вязкого трения Ньютона, является тензорным потоком. Поэтому в линейных уравнениях переноса его формально нельзя сочетать с потоками термического и электрического зарядов и т.д. Это запрещается теоремой Кюри. Применение автором вместо закона Ньютона нового закона движения жидкости, вытекающего из уравнений (315) и (316), это полностью решает указанную проблему.

Уравнения нового закона движения вязкой жидкости или газа имеют вид

J_гV = - L_гV(dp/dx) м/сек; (330)

dV = J_гVFdt = - L_гV(dp/dx)Fdt м³ (331)

или

J_гm = - L_гm(d_г/dx) кг/(м²сек); (332)

dm = J_гmFdt = - L_гm(d_г/dx)Fdt кг, (333)

где L_гV и L_гm – проводимости по отношению к объему и массе.

В формулах (330) – (333) для гидродинамической формы движения использованы два различных заряда – объем и масса (§ 10). Связь между новым законом и законом Ньютона устанавливается на основе анализа проводимостей. Например, для ламинарного потока несжимаемой жидкости (газ в общем случае является жидкостью сжимаемой, но в известных условиях его можно рассматривать как несжимаемую жидкость) из выражений (330), закона Гагена – Пуазейля и известной формулы Дарси получаем [4, 5]

L_гV = d²/(32) = F/(8) м⁴/(нсек), (334)

где d - диаметр трубопровода, м;

 - динамическая вязкость жидкости, нсек/м².

В данном случае проводимость L_гV обратна ньютоновской динамической вязкости . Подобные же зависимости можно найти для других режимов течения.

Для всех остальных форм движения также применимы общие уравнения (315) и (316). В частности, они справедливы для описания процессов распространения волнового заряда (дебройленов), массы (химическая, или субстанциальная, форма движения), пространства, времени и т.д.