6. Связь между разноименными частными потоками и силами.

Сопоставление формул (237) и (241) показывает, что потоки J и I различаются только площадью F. Поэтому переход от одного потока к другому осуществляется с помощью соотношения

I = FJ. (285)

Аналогичная связь существует между разноименными частными проводимостями. Например, из выражений (249), (258) и (285) получаем

 = F. (286)

Из формул (267), (276) и (285) находим

М = FL. (287)

Наконец, два последних равенства дают

/М = /L. (288)

Связь, существующая между силами Х и Y, определяется формулами (249) и (267), а также (258) и (276)

Х = LY; (289)

Х = МY. (290)

Если считать, что величина перепада потенциаларавна величине напора, тогда формулы (289) и (290) преобразуются к виду (перепад и напор сокращаются)

L = х_ф; (291)

М = х_ф. (292)

Эти равенства выражают правила, с помощью которых в уравнениях переноса можно переходить от одних сил (и проводимостей) к другим. Физический смысл размера х_ф определяется следующими соображениями.

Предположим, что имеется система х, проводимость которой равна L или М (рис. 7). На поверхности системы отдача заряда происходит с коэффициентами  или . Если продолжить систему на расстояние х_ф (толщина так называемого фиктивного слоя), тогда явление отдачи заряда можно условно заменить явлением проводимости в фиктивном слое (заштрихован пунктиром), обладающим теми же коэффициентами проводимости, что и система. Правомерность такой замены обусловлена тем, что поток заряда, уходящий с поверхности системы вследствие явления отдачи, равен потоку заряда, теряемого системой через фиктивный слой посредством явления проводимости.

Рис. 7. Схема определения толщины фиктивного слоя.

Действительно, из формул (249) и (267), а также (258) и (276) получаем (рис. 7)

J = X = LY = - Р_ф = - L(Р_ф/х_ф) (293)

I = X = МY = - Р_ф = - М(Р_ф/х_ф) (294)

Эти формулы иллюстрируют правила замены в уравнениях переноса одних сил (например, Х) другими (например, Y). Толщина фиктивного слоя выбирается с помощью соотношений (291) и (292). Ее можно также определить графически, имея в виду, что так называемая направляющая точка С (рис. 7) находится в месте пересечения горизонтали, отвечающей потенциалу Р_с окружающей среды, и касательной ВС к кривой распределения потенциала в сечении системы. Касательная проводится в точке В, расположенной на поверхности системы. В условиях одномерного поля и стационарного режима касательная ВС является продолжением прямой АВ, характеризующей распределение потенциала в сечении системы.

7. Теорема Кюри.

Возможность перехода от одних сил к другим (от напоров к градиентам потенциала и наоборот) имеет принципиальное значение. Это объясняется тем, что в некоторых задачах приходится рассматривать одновременно процессы отдачи и проводимости заряда. В этих условиях возникает потребность вводить в уравнения переноса сразу обе силы – Х и Y. Однако этого делать нельзя по следующим причинам.

Правила сочетания в линейных уравнениях переноса различных сил определяются теоремой Кюри. Согласно этой теореме, силы в линейных уравнениях переноса должны иметь одинаковый тензорный ранг или разница в рангах должна быть четной. В противном случае разноименные силы подставлять в уравнения нельзя.

Различают тензоры нулевого, первого и второго рангов. К тензорам нулевого ранга относятся скалярные величины. Скалярами, в частности, являются потенциалы (температура, давление, химический потенциал, электрический потенциал и т.д. и разности потенциалов. Следовательно, сила Х (напор потенциала Р) есть типичная скалярная величина (тензор нулевого ранга).

К тензорам первого ранга относятся векторные величины. Векторами являются градиенты скаляров, в частности, градиенты потенциалов (градиенты температуры, давления, химического потенциала, электрического потенциала и т.д.). Следовательно, сила Y (градиент потенциала) представляет собой вектор (тензор первого ранга).

Тензорами второго ранга являются обычные тензоры (в частности, вязкий поток, определяемый законом вязкостного трения Ньютона, является тензорным потоком).

Таким образом, теорема Кюри запрещает сочетать в уравнениях переноса силы Х с силами Y, ибо тензорный ранг этих сил различается на единицу (величина нечетная). Возникшая трудность легко преодолевается путем рассмотренной выше подмены явлений отдачи явлениями проводимости и наоборот.