4. Макроскопическая система.

Рассмотрим теперь макроскопическую модификацию обобщенного уравнения переноса. Будем называть ее общим (не смешивать с обобщенным) уравнением переноса. Для вывода общего уравнения необходимо ввести понятия потока и силы.

Естественно принять, что поток W заряда (или просто поток) пропрционален количеству перенесенного заряда:

W = DdE, (225)

где D - коэффициент пропорциональности.

Формула (225) определяет количество заряда, переданного в определенных условиях. Эти условия конкретизируются путем соответствующего выбора коэффициента D.

Термодинамическая сила, или просто сила, являющаяся движущей причиной переноса заряда, пропорциональна разности потенциалов:

V = - CdP (226)

где С - коэффициент пропорциональности.

Коэффициент С характеризует конкретные условия переноса. В качестве силы V чаще всего служит напор или градиент потенциала. Этими величинами обычно ограничиваются потребности выбора коэффициента С для макроскопических явлений.

Знак минус в правой части формулы (226) поставлен по следующей причине: для нашего мира условно принято, что заряд распространяется от большего потенциала к меньшему (§ 24). При этом величина dP является отрицательной [формула (157)]. Но поток заряда, а следовательно, и сила V должны быть положительными. Поэтому минус перед dP компенсирует отрицательное значение самой величины dP.

С помощью установленных понятий потока и силы нетрудно вывести общие дифференциальные уравнения закона переноса. Например, в гипотетическом случае одной формы движения (n = 1) из выражений (215), (225) и (226) получаем

W = ВV, (227)

где

В = - К(D/С). (228)

Общее дифференциальное уравнение переноса (227) свидетельствует о том, что поток пропорционален силе. Коэффициент пропорциональности В представляет собой проводимость системы, он пропорционален ее емкости.

Для двух степеней свободы системы (n = 2) из уравнений (217), (225) и (226) находим

W₁ = В₁₁V₁ + В₁₂V₂ (229)

W₂ = В₂₁V₁ + В₂₂V₂ (229)

где

W₁ = DdE₁; W₂ = DdE₂ ; (230)

V₁ = - CdP₁; V₂ = - CdP₂ ; (231)

B₁₁ = - K_11P(D/C); B₂₂ = - K_22P(D/C); (232)

B₁₂ = - K_12P(D/C); B₂₁ = - K_21P(D/C). (233)

Если система располагает n внутренними степенями свободы, то из выражений (221), (225) и (226) будем иметь

W_i = (234)

где i = 1, 2, ... , n;

B_ii = - K_iiP(D/C); B_rr = - K_rrP(D/C); (235)

B_ir = - K_irP(D/C); B_ri = - K_riP(D/C). (236)

Общие дифференциальные уравнения переноса (227), (229) и (234) выражают прежний закон переноса, но форма их более удобна для изучения макроскопических явлений, чем форма обобщенных уравнений. Для использования общих уравнений надо придать конкретные значения коэффициентам пропорциональности С и D.

5. Частные формы макроскопических уравнений.

Посредством соответствующего выбора коэффициентов С и D можно получить большое множество различных выражений, определяющих потоки W и силы V. Для практических целей рекомендуется восемь основных вариантов выбора потоков и силы [4]. Из них ниже рассматриваются четыре наиболее употребительных.

Удельный поток обобщенного заряда J, отнесенный к единице площади F контрольной поверхности и единице времени dt, определяется следующим образом:

W = J; (237)

где

J = dE/(Fdt). (238)

Сопоставление выражений (225) и (238) показывает, что для потока J, то коэффициент пропорциональности

D = 1/(Fdt). (239)

На практике широко употребляется также поток

W = I; (240)

где

I = dE/dt, (241)

который характеризует скорость переноса обобщенного заряда (в учении об электричестве величина I называется силой тока). Для этого потока коэффициент пропорциональности в формуле (225)

D = 1/dt (242)

Для обозначения конкретных потоков вместо W использованы новые буквы J и I. Это сделано с целью избежать возможной путаницы.

В качестве термодинамической силы V обычно используются две величины - X и Y. Сила Х представляет собой напор интенсиала на контрольной поверхности системы:

V = X; (243)

Х = - Р, (244)

что соответствует коэффициенту пропорциональности в формуле (226)

С = 1. (245)

Сила Y есть градиент потенциала

V = Y; (246)

Y = - dР/dх. (247)

Выражение (247) получается из (226), если положить

С = 1/dх. (248)

Конкретным силам Х и Y также даны специальные буквенные обозначения, отличные от V.

С помощью введенных потоков J и I и сил Х и Y общие дифференциальные уравнения переноса (227), (229) и (234) могут быть переписаны по-новому. При этом каждый из потоков J и I может сочетаться с каждой из сил Х и Y. Всего получается четыре частных варианта дифференциальных уравнений переноса. Для различного числа форм движения они выглядят следующим образом.

В первом варианте сочетаются поток J и сила Х. При n = 1 из выражений (227), (228), (237), (239), (243) и (245) получаем

J = Х, (249)

где  - коэффициент отдачи заряда на контрольной поверхности системы:

 = - К(1/Fdt). (250)

В данном случае роль проводимости В играет величина :

В = . (251)

Аналогично при n = 2 из выражений (229) – (233) находим

J₁ = ₁₁X₁ + ₁₂X₂; (252)

J₂ = ₂₁X₁ + ₂₂X₂, (252)

где

₁₁ = - К_11Р(1/Fdt); ₂₂ = - К_22Р(1/Fdt); (253)

₁₂ = - К_12Р(1/Fdt); ₂₁ = - К_21Р(1/Fdt); (254)

При n степенях свободы общее уравнение (234) принимает вид

J_i = (255)

где i = 1, 2, ... , n;

_ii = - К_iiР(1/Fdt); _rr = - К_rrР(1/Fdt); (256)

_ir = - К_irР(1/Fdt); _ri = - К_riР(1/Fdt). (257)

Во втором варианте сочетаются поток I и сила Х. При n = 1 уравнение (227) преобразуется к виду

I = Х, (258)

где  - коэффициент отдачи заряда на контрольной поверхности системы:

 = - К(1/dt); (259)

В = . (260)

При n = 2 из уравнений (229) находим

I₁ = ₁₁X₁ + ₁₂X₂; (261)

I₂ = ₂₁X₁ + ₂₂X₂, (261)

где

₁₁ = - К_11Р(1/dt); ₂₂ = - К_22Р(1/dt); (262)

₁₂ = - К_12Р(1/dt); ₂₁ = - К_21Р(1/dt). (263)

При n формах движения из формулы (234) получаем

I_i = (264)

где i = 1, 2, ... , n;

_ii = - К_iiР(1/dt); _rr = - К_rrР(1/dt); (265)

_ir = - К_irР(1/dt); _ri = - К_riР(1/dt). (266)

В третьем варианте сочетаются поток J и сила Y. При n = 1 из общего уравнения (227) находим

J = LY, (267)

где L – проводимость системы по отношению к заряду:

L = - К(1/F)(dx/dt); (268)

В = L. (267)

При n = 2 из уравнений (229) имеем

J₁ = L₁₁Y₁ + L₁₂Y₂; (270)

J₂ = L₂₁Y₁ + L₂₂Y₂, (270)

где

L₁₁ = - К_11Р(1/F)(dx/dt); L₂₂ = - К_22Р(1/F)(dx/dt); (271)

L₁₂ = - К_12Р(1/F)(dx/dt); L₂₁ = - К_21Р(1/F)(dx/dt). (272)

При n степенях свободы общее уравнение (234) дает

J_i = (273)

где i = 1, 2, ... , n;

L_ii = - К_iiР(1/F)(dx/dt); L_rr = - К_rrР(1/F)(dx/dt); (274)

L_ir = - К_irР(1/F)(dx/dt); L_ri = - К_riР(1/F)(dx/dt). (275)

Наконец, в четвертом частном варианте сочетаются поток I и сила Y. При n = 1 получаем

I = МY, (276)

где М – проводимость системы по отношению к заряду:.

М = - К(dx/dt); (277)

В  М. (278)

При n = 2 из уравнений (229) находим

I₁ = М₁₁Y₁ + М₁₂Y₂; (279)

I₂ = М₂₁Y₁ + М₂₂Y₂, (279)

где

М₁₁ = - К_11Р(dx/dt); М₂₂ = - К_22Р(dx/dt); (280)

М₁₂ = - К_12Р(dx/dt); М₂₁ = - К_21Р(dx/dt). (281)

В общем случае n степеней свободы уравнение (234) дает

I_i = (282)

где i = 1, 2, ... , n;

М_ii = - К_iiР(dx/dt); М_rr = - К_rrР(dx/dt); (283)

М_ir = - К_irР(dx/dt); М_ri = - К_riР(dx/dt); (284)

Напомним, что во всех перечисленных уравнениях переноса емкости берутся при постоянных потенциалах. Это замечание не касается только гипотетического случая, когда n = 1.

Из конкретных дифференциальных уравнений переноса (255), (266), (273) и (282) видно, что в них координаты и время играют вспомогательную роль: относительно этих зарядов определяются потоки всех других. Такая постановка вопроса правомерна только для макроскопических тел и только в условиях, когда потоки пространства и времени отличаются стабильностью. При нестабильности процессов распространения пространства и времени вся картина переноса, определяемая упомянутыми уравнениями, резко усложняется. В этом случае целесообразно пользоваться обобщенными уравнениями переноса типа (215), (217) и (221). Заметная нестабильность условий возникает при значительном изменении зарядов системы, например, при изменении электрического и магнитного полей, гравитационного потенциала (если, например, система – космический корабль – приближается к звезде большой массы), количества движения (а следовательно, и скорости) и т.д.

Уравнения (255), (266), (273) и (282) могут быть использованы при расчете микроскопических процессов, если частицы располагают большими запасами метронов и хрононов. Тогда по признаку пространства и времени частицы должны обладать континуальными (непрерывными) свойствами. Этим замечанием утверждается идея о том, что микроансамбли в принципе могут обладать по отношению к одним зарядам корпускулярными, а по отношению к другим – континуальными свойствами. Границы применимости рассмотренных частных уравнений для микромира могут быть установлены только тогда, когда станет известна величина метронов и хрононов и будут ясны заряды микрочастиц. Не исключено, что в отдельных случаях частные потоки зарядов будут более удобно относить не в пространству и времени, а к определенным другим зарядам, распространение которых в данных конкретных условиях отличается большей стабильностью, чем распространение пространства и времени. Все эти проблемы снимаются при использовании обобщенных уравнений переноса.