2. Частные случаи.

Равенство (200) соответствует нестационарному, или неустановившемуся, полю (режиму) потенциала. В стационарных (установившихся) условиях

Р/t = 0, (201)

следовательно, уравнение (200) принимает вид

Р = f(х; у; z). (202)

Поля (200) и (202) являются трехмерными, так как потенциал изменяется вдоль трех координат одновременно. В условиях стационарного двухмерного поля

Р/t = Р/z = 0 (203)

и

Р = f(х; у). (204)

Для стационарного одномерного поля имеем

Р/t = Р/у = Р/z = 0 (205)

и

Р = f(х). (206)

Наконец, система может быть стационарной однородной (заряд распределен в объеме системы равномерно и со временем не изменяется, потенциал имеет одно и то же значение в любой момент времени и в любой точке пространства). Такая система называется равновесной. В условиях равновесия поле зарядов и потенциалов не зависит ни от времени, ни от координат. Ему отвечают равенства:

Р/t = Р/х = Р/у = Р/z = 0 (207)

и

Р = const. (208)

В равновесной однородной системе заряд находится в состоянии покоя. При этом активность движения не равна нулю (Р  0). Если активность движения обращается в нуль, тогда покой называется абсолютным (это состояние соответствует физическому вакууму).

§ 33. Напор и градиент потенциала.

1. Напор потенциала.

Для переноса существенны неоднородные поля заряда и потенциала. Эта неоднородность может быть вызвана различными причинами, о которых много говорится дальше. Одна из причин неоднородности может заключаться в том, что система и окружающая среда имеют разный состав материала. В этом случае кривая распределения потенциала имеет излом на контрольной поверхности, отделяющий систему от окружающей среды (рис. 2-а и 5).

Рис. 5. Схема определения перепада и напора потенциала.

Изучая свойства и поведение системы, часто можно подробно не вникать в свойства окружающей среды. Например, можно не интересоваться характером распределения потенциала в окружающей среде. Достаточно ограничиться лишь знанием общей разности потенциалов между поверхностью тела и окружающей средой вдали от тела. Эта разность называется напором потенциала и обозначается

Р = Р_с – Р_п, (209)

где Р_с - значение потенциала окружающей среды вдали от системы, где не сказывается возмущающее действие тела на среду;

Р_п - значение потенциала на контрольной поверхности системы (рис. 5).

Понятие напора потенциала на контрольной поверхности очень упрощает многие расчеты и определения.

2. Перепад потенциала.

При наличии неоднородного поля потенциала в теле общей характеристикой неоднородности может служить разность потенциалов

Р = Р_п – Р_ц, (210)

где Р_п - значение потенциала на поверхности;

Р_ц - значение потенциала в центральной зоне тела.

Эта разность называется перепадом потенциала в системе. Под перепадом обычно понимается максимальная разность потенциалов в сечении тела (рис. 5).

3. Градиент потенциала.

Если соединить все точки неоднородного поля, обладающие одинаковыми значениями потенциала, то получится поверхность уровня, или изопотенциальная поверхность. Движение вдоль изопотенциальной поверхности не сопровождается изменением потенциала. Переход с одной изопотенциальной поверхности на другую связан с изменением потенциала на величину Р. В общем случае такой переход обусловлен перемещением на расстояние l. Скорость изменения потенциала на пути l составляет

Р/l.

Наибольшая скорость изменения потенциала получается при перемещении вдоль направления нормали n к изопотенциальной поверхности (рис. 6). Эта скорость называется градиентом потенциала и обозначается через gradР, причем

gradР = limР/n_n0 = Р/n. (211)

По направлению градиент совпадает с нормалью, идущей в сторону возрастания потенциала.

Если градиент потенциала не зависит от времен и координат у и z, то из выражения (211) в частном случае получается

gradР = dР/dх. (212)

Градиент потенциала является чрезвычайно важной величиной, та как через него определяется количество перенесенного заряда и действующая на заряд сила.