4. Задачи на совместную работу.

В задачах этого типа некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым (сменное задание, вспашка поля, рытье котлована, заполнение бассейна и пр.), выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно (т.е. с постоянной для каждого производительностью). При решении объем всей работы принимают за единицу и если t – время выполнения этой работы, то – производительность.

Пример №8. В бассейн проведены две трубы, подающая и отводящая, причем через первую бассейн наполняется на 2 часа дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на треть бассейне были открыты обе трубы сразу, и бассейн оказался пустым спустя 8 часов. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполнит, а вторая опорожнит бассейн?

Пусть t ч – время, которое необходимо второй трубе, чтобы опорожнить бассейн, тогда (t + 2) ч – время, которое необходимо первой трубе, чтобы наполнить бассейн. Объем всей работы (в данном случае это заполнение всего бассейна) принимаем за единицу и тогда производительность первой трубы , а второй – . За 8 часов первая труба выполнит своей работы (наполнение бассейна водой), а вторая труба – своей работы (опорожнение бассейна). А поскольку в самом начале бассейн был уже заполнен водой на треть, а через 8 часов совместной работы двух труб, оказался пустым, имеем уравнение: , решая которое, получаем квадратное уравнение t²  + 2t – 48 = 0, откуда t₁ = 6 и t₂= –8 (проверьте!). Т.е. вторая труба опорожнит бассейн за 6 часов, а первая наполнит за t + 2 = 8 часов.

Пример № 9. Первому трактору на вспашку поля требуется на 2 часа меньше, чем третьему и на 1 час больше, чем второму. При совместной работе первого и второго тракторов поле может быть вспахано за 1 час 12 минут. Какое время на вспашку поля потребуется каждому из трактаров?

Пусть х часов – время, необходимое для вспашки поля первому трактору, у часов – второму и z часов – третьему. Объем работы (в данном случае это площадь поля) принимаем за единицу. Тогда производительность первого трактора , второго – и третьего – . По условию задачи z – x = 2 и х – у = 1. А при совместной работе первого и второго тракторов поле может быть вспахано за 1 час 12 минут, т.е. часа. За это время первый трактор выполнит часть работы, а второй – часть работы, т.е. . Имеем систему , решая которую получаем x₁ = 3; y₁ = 2 и z₁ = 5 и x₂ = 0,4; y₂ = –0,6 и z₂ = 2,4 (проверьте!). Условию задачи удовлетворяет только первое решение.

5. Задачи на смеси и сплавы.

Решение задач этого типа связано с понятиями «концентрация» и «процентное содержание» и основано на следующих допущениях: все полученные смеси (сплавы, растворы) однородны; если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ А, В и С, которые имеют массу m₁, m₂ и m₃ соответственно, то величины - называются концентрацией веществ А, В и С соответственно. А величины , и – процентным содержанием веществ А, В и С соответственно.

Пример № 10. Имеется сталь двух сортов, один из которых содержит 5%, а другой – 10% никеля. Из них получают сплав, содержащий 8% никеля. Сколько килограмм стали каждого вида взяли для этого сплава, если во втором куске никеля оказалось на 4 кг больше, чем в первом?

Пусть масса стали первого сорта, взятой для нового сплава х кг, а второго – у кг. Содержание никеля в стали первого сорта 5%, значит в х кг стали содержится 0,05х кг никеля, а содержание никеля в стали второго сорта 10%, значит в у кг стали – 0,1у кг. По условию задачи во втором куске никеля на 4 кг больше, чем в первом, поэтому . А в новом сплаве должно получиться 0,08(х + у) кг никеля. Это количество складывается из 0,05х кг никеля в стали первого сорта и 0,1у кг никеля в стали второго сорта. Запишем уравнение . Для решения задачи имеем систему , решая которую получаем

х = 40 кг и у = 60 кг. Следовательно, стали с 5% – ным содержанием никеля надо взять 40 кг и с 10% – ным содержанием – 60 кг.

Пример № 11. Сосуд емкостью 12 л наполнен кислотой. Из него выливают некоторое количество кислоты во второй сосуд такой же емкости, и второй сосуд дополняют водой. Теперь смесью из второго сосуда дополняют первый сосуд. Затем из первого сосуда переливают 4 л во второй, после чего в обоих сосудах количество чистой кислоты (в растворах) оказывается одинаковым. Сколько кислоты первоначально перелито из первого сосуда во второй?

Пусть первый раз из первого сосуда во второй отлили х л (x < 12), в нем осталось (12 – х) л. После дополнения второго сосуда водой до 12-ти литров (емкость сосудов одинакова), в нем оказывается кислота с концентрацией . Теперь этой смесью дополняют первый сосуд, для чего понадобится х л смеси, где чистой кислоты уже л и в первом сосуде становится л чистой кислоты в двенадцати литрах смеси. Отливая из этого сосуда 4 л смеси (т.е. л чистой кислоты) во второй сосуд, где осталось (12 – х) л смеси с концентрацией (т.е.  л чистой кислоты), получая во втором сосуде л чистой кислоты. По условию задачи известно, что теперь в обоих сосудах количество чистой кислоты (в растворах) одинаково и учитывая, что в первом сосуде осталось 8 л смеси (т.е.  л чистой кислоты) имеем уравнение

, преобразовав которое, получим квадратное уравнение , откуда х = 6, т.е. первоначально было отлито 6 литров.