2. Задачи на числовые зависимости.

Пример № 4. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 6, а в остатке 2. Если же это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 5, а в остатке 2. Найдите это число.

Пусть в двузначном числе х – число десятков, а у – число единиц, тогда искомое число (10х + у). Здесь нам потребуется теорема о делении с остатком, напомним ее.

Теорема. Если a и b – натуральные числа, a > b и а не кратно b, то существует, и притом только одна, пара натуральных чисел q и r таких, что a = b  q + r, где r < b (а – делимое, b – делитель, q – частное и r – остаток).

Используя эту теорему, запишем систему их двух уравнений: . Выразим х из первого уравнения и подставим его во второе уравнение системы. Получим и у₂ = 2. Т.к. , то только у = 2 подходит по условию, тогда х = 3 и искомым является число 32.

Пример № 5. Найдите трехзначное число, если известно, что сумма его цифр равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Если же из этого числа вычесть 495, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Пусть х – число сотен, у – число десятков, z – число единиц, тогда – искомое число (100х +10у + z), а (100z +10 у+ х) – число записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Опираясь на условие задачи, имеем систему уравнений:

.

Преобразовав последнее уравнение, получим х – z = 5 или z = х – 5, и система принимает вид . Выразив у из первого уравнения системы (у = 22 – 2х) и подставив его во второе уравнение, получаем квадратное уравнение 3х² – 49х – 200 = 0 (проверьте!), решая которое найдем и х₂ = 8. И т.к. х – это число сотен, то – посторонний корень, т.е. х = 8, тогда у = 6 и z = 3, а искомое число равно 863.

3. Задачи на движение

При решении задач этого типа принимают следующие допущения:

1. если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным;

2. скорость – величина положительная;

3. повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;

4. если тело с собственной скоростью v₁ движется по реке, скорость течения которой v₂, то скорость движения тела по течению считается равной (v₁ + v₂), а против течения – (v₁– v₂).

Пример № 6. В реку впадает приток. Катер отходит от пункта А, находящегося на притоке, идет по течению 80 км до впадения притока в реку в пункте В, а затем идет вверх по реке до пункта С. На путь от А до С он затратил 18 часов, на обратный – 15 часов. Найти расстояние от пункта А до пункта С, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч, а собственная скорость катера 18 км/ч.

Пусть v км/ч – скорость течения притока. Тогда от пункта А до пункта В катер идет со скоростью (18 + v) км/ч, а от пункта В до пункта А – со скоростью (18 – v) км/ч, затрачивая на путь от А до В часов, а на путь от В до А –  часов. Пусть s км – расстояние от В до С. Двигаясь от пункта В до пункта С, катер идет со скоростью (18 – 3) км/ч = 15 км/ч, а от пункта С до пункта В со скоростью (18 + 3) км/ч = 21 км/ч, затрачивая на путь от В до С  часов и  часов обратно. Тогда весь путь от А до С занимает  часов, что по условию задачи составляет 18 часов, а обратный путь = 15 часов. Получаем систему: , решая которую получим, что v = 2 км/ч и s = 210 км (проверьте!), а тогда расстояние от А до С равно 290 км.

Пример №7. Из пунктов А и В, расположенных на расстоянии 50 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода. Через 5 часов они встретились. После встречи скорость первого пешехода, идущего из А в В, уменьшилась на 1 км/ч, а второго, идущего из В в А, возросла на 1 км/ч. Известно, что первый пешеход прибыл в пункт В на 2 часа раньше, чем второй прибыл в А. Найти первоначальные скорости каждого из пешеходов.

Пусть v₁ км/ч и v₂ км/ч – скорости соответственно 1-го и 2-го пешеходов. Обозначив место встречи как пункт С, получим, что путь АС, пройденный 1-ым пешеходом до встречи равен 5v₁ км, а путь ВС, пройденный 2-ым пешеходом до встречи равен 5v₂ км, что в сумме составляет расстояние АВ, равное 50км.

Таким образом, 5v₁ + 5v₂ = 50 или v₁ + v₂ = 10. После встречи скорость первого пешехода стала (v₁ – 1) км/ч, а расстояние, которое ему осталось пройти до пункта В (путь ВС) равен 5v₂ км. Тогда время движения 1-го пешехода после встречи часов. Аналогично для 2-го пешехода имеем, скорость после встречи – (v₂ + 1) км/ч и время движения после встречи часов. По условию задачи известно, что 1-ый пешеход прибыл в пункт В на 2 часа раньше, чем второй прибыл в А, поэтому: . И имеем систему уравнений , решая которую, получаем v₁₁ = 6 и v₁₂ = – 44. И, т.к. скорость величина положительная, то первоначальная скорость первого пешехода 6 км/ч, тогда первоначальная скорость второго пешехода 4 км/ч.