Вопросы для самопроверки

1. Модуль. Определение. Геометрический смысл.

2. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Способы решения.

3. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Способы решения.

4. Понятие уравнения (неравенства) с параметром.

5. Принципиальное отличие уравнения с параметром от уравнения с двумя неизвестными.

6. Решение уравнения (неравенства) с параметром. Контрольные значения.

7. Может ли а = –5, если а= 5, а= –а и а= а ?

8. Какой способ лучше использовать для решения данных уравнений, почему?

а) х + 1 + 2х + 3 = х – 3

б) 12х – 7 = 3

в) 3х² – 1 = 2х

г) х² + 7х – 11 = х² + 1

9. х + у  х + у. Приведите примеры, когда имеет место равенство, а когда неравенство.

Тема «Текстовые задачи»

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят различные вопросы физики, механики, экономики и многих других прикладных наук. Конечно, нельзя рассмотреть все разнообразие текстовых задач в нескольких примерах. Нет и четкого алгоритма, позволяющего решать эти задачи, каждая из которых требует отдельного подхода, логических рассуждений, выводов и умения записывать их в виде математических соотношений. Тем не менее, решение текстовых задач при составлении уравнения (системы уравнений) обычно осуществляется следующим образом:

1. вводят переменные, т.е. обозначают буквами х, у, z,… неизвестные величины, которые требуется найти в задаче либо они необходимы для отыскания искомых величин;

2. с помощью введенных переменных и данных в задаче величин составляют систему уравнений (или одно уравнение);

3. решают полученную систему (уравнение);

4. отбирают из полученных решений те, которые подходят по смыслу задачи.

Не смотря на то, что невозможно охватить все виды текстовых задач, их можно разбить на несколько основных типов. Рассмотрим примеры.

1. Задачи на прогрессию

Напомним, что числовая последовательность {a_n} называется арифметической прогрессией, если существует число d такое, что для любого n выполняется а_п = а_п–1 + d. Число d при этом называется разностью арифметической прогрессии. п-ый член арифметической прогрессии может быть выражен через а₁ и d: a_n = a₁ + (n –1)d. Сумма п членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле S_n = .

Последовательность {b_n}, где b₁  0, называется геометрической прогрессией, если существует число q  0 такое, что для любого n выполняется равенство b_п = b_п–1 q или п-ый член геометрической прогрессии может быть выражен через b₁: b_п = b₁ q^п–1. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Сумма п членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле S_n = .Если q < 1, то прогрессия является бесконечно убывающей и сумма ее членов находится по формуле S = .

Пример № 1. При делении 13-го члена арифметический прогрессии на ее третий член в частном получилось 3, а при делении 18-го члена на 7-ой в частном получилось 2 и в остатке 8. Найти 100-ый член прогрессии.

Пусть а_i – член арифметический прогрессии, где i – номер члена арифметический прогрессии, тогда исходя из условия задачи имеем а₁₃ = 3а₃, а а₁₈ = 2а₇ + 8. По формуле п-го члена а_п = а₁ + d(п–1) следует, что а₃ = а₁ + 2d, а₇ = а₁ + 6d, а₁₃ = а₁ + + 12d, а₁₈ = а₁ + 17d. Таким образом, приходим к системе двух уравнений с двумя неизвестными а₁ и d (чаще всего к системе от этих переменных сводятся задачи на арифметическую прогрессию): . Решая систему получаем а₁ = 12 и d = 4 (проверьте!) и находим а₁₀₀ = а₁ + 99d = 408.

Пример №2. Найти 8-ой член геометрической прогрессии, у которой b₁ = 3, b_п = 96 и S_n = 189.

Т.к. b_п = b₁ q^{п – 1}, то получаем 96 = 3q^{п – 1}, откуда q^{п – 1} = 32 или q^п = 32q. С другой стороны , т.е. 189 =  или  = 63, а поскольку q^п = 32q, то получим  = 63, откуда q = 2 (проверьте!). И теперь, зная b₁ = 3 и q = 2, можно найти b₈ = b_1·q⁷ = 384

Пример №3. В геометрической прогрессии первый, третий и пятый члены соответственно равны первому, четвертому и шестнадцатому членам некоторой арифметической прогрессии. Найти четвертый член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 5.

Пусть b₁, b₃, b₅ – соответственно первый, третий и пятый члены геометрической прогрессии; а₁, а₄, а₁₆ – первый, четвертый и шестнадцатый члены арифметической прогрессии и пусть d – разность арифметической прогрессии, а q – знаменатель геометрической. Тогда a₁ = b₁ = 5; b₃ = b₁·q² = 5q²; b₅ = 5q⁴ и а₄ = a₁ +3d = 5 +3d, a₁₆ = 5 + 15d. И поскольку b₃ = a₄ и b₅ = а₁₆, то имеем систему: , решая которую получаем d₁ = 0 и d₂ = 5, а тогда а₄ = 5 или а₄ = 20.