Тема: «Логарифмические выражения»

Напомним основные сведения о логарифма. Если а  0, а  1, то число b называется логарифмом числа х по основанию а, если а^b = х. Записывают log_ax = b.

Из определения логарифма следует, что число b должно быть положительным. Тождество называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов: если х > 0, у > 0, то

1. log_a(xy) = log_ax + log_ay

2. log_ax – log_ay

3. log_ax^p = plog_ax

4. log_ax = (b > 0, b  1) – формула перехода к новому основанию.

Пример № 1. Вычислить .

Преобразуем логарифмируемое выражение. Воспользуемся свойством степени, получим . Представим 25 = 5² и т.к. при возведении степени в степень показатели перемножаются, то преобразованный знаменатель примет вид: и далее , и тогда значение данного выражения .

Пример № 2. Вычислить , если известно, что , .

Решая такие примеры, полезно раскладывать составные числа на простые множители. Воспользуемся этим указанием и преобразуем имеющиеся величины: перейдем к новому основанию 7 и применим известные из школьного курса свойства логарифмов.

и ,

введем обозначения и , тогда и . Выразим х и у из последних двух равенств тогда .

Пример № 3. Упростить .

В каждом из логарифмов перейдем к основанию а и преобразуем, используя свойства логарифмов:

и аналогично , и (проверьте!). Теперь подставим полученные выражения в исходное и преобразуем его. Для удобства введем обозначение , тогда: . Преобразуем далее как рациональное выражение, получим х (проверьте!) и, возвращаясь к логарифму, имеем .

Решение логарифмических уравнений.

Пример № 4. Решить уравнение

.

Используем определение логарифма, получим: . Разделим обе части полученного уравнения на 2 и снова используем определение логарифма: , далее получим . Еще раз используем определение логарифма и , откуда х = 3.

Рассмотрим логарифмическое уравнение вида , где a > 0 и a  1. Это уравнение равносильно системе .

Пример № 5. Решить уравнение

log₂(x² – 5x + 12) = log₂(22 – 8x).

Данное уравнение равносильно системе

, решив уравнение этой системы, получим х₁ = 2 и х₂ = –5. Оба решения удовлетворяют неравенствам системы, значит х₁ = 2 и х₂ = –5 являются решениями исходного уравнения.

Следует отметить, что при решении логарифмических уравнений используют различные свойства логарифмов, приводящие к уравнениям неравносильным данному. Так, например, решая уравнение , после преобразования получим неравносильное уравнение . Поскольку область определения выражения задается системой неравенств , тогда как область определения выражения задается неравенством , которое равносильно совокупности систем неравенств и . Таким образом, произошло расширение области определения (за счет последней системы), а, значит, могут появиться посторонние корни. Поэтому, решив уравнение, из найденных коней следует отобрать те, которые принадлежат области определения исходного выражения или же выполнить проверку непосредственно (подстановкой найденных решений в исходное уравнение).

Пример № 6. Решим уравнение

Область определения данного уравнения задается следующей системой неравенств , решая которую получаем . Преобразуем данное уравнение к виду и далее , откуда х₁ = –1 и х₂ = –5,5 (проверьте!). Из них, области определения удовлетворяет только х = –1 и таким образом является единственным корнем.

Рассмотрим теперь уравнение вида . Это уравнение равносильно системе

.

Пример №7. Решить уравнение

Это уравнение равносильно системе:

. Преобразуем уравнение системы, получим , откуда х₁ = 5 и х₂ = –2. Из этих двух значений всем условиям системы удовлетворяет лишь х = 5.

Пример № 8. Решим уравнение .

Сначала перейдем к основанию 5:

, тогда уравнение примет вид . Положим , тогда , решая это уравнение получим u = 2 (проверьте!), откуда и х = 25 – корень исходного уравнения.

Решение показательно-логарифмических уравнений.

Рассмотрим на примере решение показательно-логарифмических уравнений.

Пример № 9. Решить уравнение .

Область определения уравнения x > 0, в этом случае обе части уравнения положительны, поэтому их можно прологарифмировать по основанию 2, в результате получим уравнение , равносильное данному. Далее имеем . Положим, , тогда , откуда u₁ = –1 и u₂ = 2. Возвращаясь к переменной х, получим и и тогда х₁ = 0,5 и х₂ = 4 являются корнями уравнения.

Пример № 10. Решить уравнение .

Воспользуемся определением логарифма, приведем исходное уравнение к виду . Положим , тогда получим уравнение , корни которого u₁ = –1 и u₂ = 4. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений и . Т.к. , то первое уравнение решения не имеет. Возьмем логарифмы по основанию 4 от обеих частей второго уравнения , т.е. , тогда , откуда , корни исходного уравнения.

Решение логарифмических неравенств

Решая логарифмические неравенства, мы, как правило, приходим к неравенству вида . Это неравенство равносильно системе , если а > 1 и равносильно системе , если .

Пример № 11. Решить неравенство .

Это неравенство равносильно системе ,

откуда и далее, решая второе неравенство методом интервалов, с учетом первого, получим (проверьте!) – решение данного неравенства.

Пример № 12. Решить неравенство

.

Поскольку логарифмируемое выражение должно быть положительным, то , откуда x > –2. Преобразуем исходное неравенство:

.

Далее , т.к. x > –2, то и получаем систему, равносильную исходному неравенству , откуда . И – решение данного неравенства (проверьте!).

Пример № 13. Решить неравенство

Для того чтобы от логарифмического неравенства перейти к рациональному, необходимо знать относительно основания логарифма (х – 2) больше оно 1 или меньше. Поэтому задача сводится к решению совокупности двух систем:

и .

Из первой системы получаем , из второй (проверьте!) и решением данного неравенства является .

Решение показательно-логарифмических неравенств

Рассматривая показательно-логарифмические уравнения, мы отметили, что для их решения используется метод логарифмирования обеих частей уравнения по одному и тому же основанию. Этот метод применяется и для решения показательно-логарифмических неравенств. Здесь также и и переходим от неравенства к неравенству , если a > 1 и к неравенству , если .

Пример № 14. Решить неравенство .

Обе части этого неравенства принимают лишь положительные значения. Возьмем от обеих частей логарифмы по основанию 0,5, получим неравенство равносильное данному. После преобразования получим , откуда , тогда (0,5; 2) является решением исходного неравенства.

Пример № 15. Решим неравенство .

В озьмем от обеих частей неравенства логарифмы по основанию 3, тогда получим . В области определения, т.е. при x < 5, функция убывает, а функция возрастает. А значит, уравнение имеет единственный корень х = 2, а с учетом области определения решение неравенства будет [2; 5).