Тема: «Показательные уравнения и неравенства»

Решение показательных уравнений

При решении показательных уравнений используют два основных метода: переход от уравнения a^f(x) = a^g(x) к равносильному уравнению f(x) = g(x), где а > 0 и а ≠ 1, и введение новых переменных. Иногда приходится применять искусственные приемы.

Пример №1. Решить уравнение:

Это уравнение равносильно уравнению 3х² – 2х = 3х – 2 а, значит, его корни х₁ = 1 и х₂ = – являются решениями исходного уравнения (проверьте!).

Пример № 2. Решить уравнение: = .

Приведем все степени к одному основанию :

откуда , и, перейдя к равносильному уравнению х = 2х – 3 получим х = 3 – корень данного уравнения.

Пример № 3. Решить уравнение: .

Т.к. , то данное уравнение можно преобразовать следующим образом: , откуда имеем равносильное ему квадратное уравнение относительно x: , и его корни  (проверьте!), которые являются решением данного показательного уравнения.

Пример № 4. Решить уравнение .

Т.к. и , то данное уравнение преобразуем следующим образом , сгруппируем и далее . Это уравнение сводится к совокупности уравнений и . Из первого уравнения этой совокупности получаем , а второе уравнение не имеет решений т.к. при любых значениях , т.е. – решение исходного уравнения.

Пример № 5. Решить уравнение: .

Введем новую переменную, т.к. , то положим , получим квадратное уравнение t² – 10t + 9 = 0, решение которого t₁ = 1 и t₂ = 9. Возвращаясь к переменной х, получим совокупность двух уравнений: и , откуда х₁ = 0 и х₂ = 2 – решение исходного уравнения.

Пример № 6. Решить уравнение методом введения новой переменной: .

Т.к. то положив и , получим . Разделим обе части полученного однородного уравнения 2-ой степени на , имеем , и, полагая , получим квадратное уравнение, откуда и (проверьте!). Вернемся к переменной x, получим совокупность уравнений и , откуда x = 1 – решение исходного уравнения.

Пример № 7. Решить уравнение .

Никакими из рассмотренных в предыдущих примерах приемами это уравнение не решается. Здесь решение легко находится методом подбора . Но, конечно же, нельзя считать, что уравнение решено – оно может иметь и другие корни. Докажем, что других корней нет. Функция убывает, а функция возрастает на всей числовой прямой, а, значит, исходное уравнение не может иметь более одного корня, т.е. x = 1 – единственный корень уравнения.

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств вида , где a > 0 и a  1, сводится к равносильному неравенству , если a > 1 и к равносильному неравенству , если 0 < a < 1.

Пример № 8. Решить неравенство .

Преобразуем неравенство к виду , которое

равносильно рациональному неравенству . Откуда и, решая это неравенство методом интервалов, получаем (проверьте!).

Пример № 9. Решить неравенство .

Вынесем и соответственно в левой и правой частях за скобки, получим , далее и, разделив обе части неравенства на , получим , откуда и т.к. , то последнее неравенство равносильно неравенству x > 2 – это решение исходного неравенства.

Пример № 10. Решить неравенство .

Введем новую переменную, положим , тогда данное уравнение принимает вид . После преобразований получаем и, решая это неравенство методом интервалов, имеем и . Возвращаясь к переменной x, получим следующую совокупность неравенств и или и . Откуда, учитывая, что 0 < 0,2 < 1, для первого (двойного) неравенства совокупности имеем x < 0 и , т.е. и для второго неравенства совокупности получаем x < –1 и тогда решение исходного неравенства .

П ример № 11. Решить неравенство .

Функция возрастает, а функция убывает на всей числовой прямой. x = 2 является корнем уравнения , а тогда решение данного неравенства.

Решение показательно-степенных уравнений и неравенств

Рассмотрим решение показательно-степенного уравнения вида на конкретном примере

Пример № 12. Решить уравнение

.

Решая это уравнение нужно рассмотреть четыре случая:

1) (или ) – в этом случае данное уравнение примет вид , т.е. 1 = 1 и, значит, корни уравнения являются и корнями исходного показательно-степенного уравнения.

2) (или ) – и этом случае уравнение принимает вид и ему могут удовлетворять только те значения , при которых и 5x – целые числа (т.к. отрицательное число (–1) можно возвести только в целую степень) одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные). Из уравнения находим и . Только x = – 6 является корнем исходного уравнения (проверьте!).

3) – в этом случае уравнение принимает вид . Ему могут удовлетворять только те значения x, при которых (это верно при любых x) и 5x > 0 (напомним, что выражения имеет смысл, если n > 0). Из уравнения находим , значение не удовлетворяет условию 5x > 0, а значение является корнем исходного уравнения.

4) Кроме указанных решений корни исходного уравнения могут находиться среди корней уравнения , решая которое получаем х = 2 и . Оба эти значения нужно проверить подстановкой в данное уравнение. При х = 2 получаем – верное равенство. При уравнение принимает вид – эта запись не имеет смысла (отрицательное число в дробной степени), т.е. только х = 2 – корень исходного уравнения. Итак, данное показательно-степенное уравнение имеет пять корней , , и .

Пример№13. Решить показательно-степенное неравенство:

>1

Т.к. дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, а коэффициент при x² положителен, то при любых действительных значениях x. Поэтому данное неравенство можно записать в виде . Далее возможны два варианта: если , то исходное неравенство равносильно системе неравенств: , и если , то имеем . Первая система решений не имеет, а из второй получаем – решение данного неравенства (проверьте!).

Решение систем показательных уравнений

При решении систем показательных уравнений применяются те же приемы, что и при решении систем алгебраических уравнений. Но прежде чем применять тот или иной метод решения системы, следует преобразовать каждое из уравнений к возможно более простому виду.

Пример № 14. Решить систему уравнений: .

Применим метод подстановки. Выразим х из второго уравнения системы и подставим в первое уравнение, получим: . Применяя свойства степеней, имеем и далее и т.к. при любых значениях х, то последнее уравнение равносильно уравнению . Положим , получим квадратное уравнение , решая которое имеем и , откуда х₁ = 2 и х₂ = 3, тогда у₁ = 3 и у₂ = 2. Пары (2; 3) и (3; 2) – являются решением исходной системы.

Пример № 15. Решить систему уравнений: .

Перемножим почленно уравнение этой системы, получим или , откуда x + y = 3. Теперь почленно разделим первое уравнение данной системы на второе, получим или , откуда х – у =1. Далее из системы находим х = 2 и у = 1, т.е. (2; 1) – решение исходной системы.

Вопросы для самопроверки:

1. Понятие выражения с рациональным, иррациональным показателем. Свойства степеней.

2. Показательная функция . При а > 1, при 0 < а < 1. Свойства. Графики.

3. Понятие обратной функции. Функция обратная для показательной.

4. Определение логарифма числа. Основное логарифмическое тождество.

5. Какие выражения называются показательными? Привести примеры показательных выражений.

6. Показательные уравнения. Методы их решения.

7. Показательные неравенства. Решение показательных неравенств вида при а > 1 и при 0 < а < 1.

8. Показательно- степенные уравнения. Особенности решения показательно-степенных уравнений.

9. Показательно-степенные неравенства. Решение показательно-степенных неравенств.

10. Использование графиков показательных функций для решения показательных уравнений и неравенств.