28.1. Фазовая и групповая скорости света

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну где k = 2/ — волновое число.

Зафиксируем некоторое значение фазы волны:

(28.1)

Скорость, с которой перемещается в пространстве данное значение фазы, называется фазовой скоростью. Поскольку , то из выражения (28.1) следует, что

т.е. фазовая скорость

(28.2)

В реальных условиях под монохроматической волной понимается со­вокупность волн с частотами, заключенными в более или менее узком интервале шириной . Суперпозиция таких волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется группой волн. В результате наложения волн с близкими частотами возникают биения (см. § 21.8). Точка, в которой амплитуда (а значит, и интенсив­ность) группы волн имеет максимум, называется центром группы волн. Центр группы волн перемещается со скоростью, которая называется — групповой.

Рассмотрим для простоты группу волн, состоящую из двух монохро­матических волн с близкими частотами  и :

Результирующая волна E=E₁+E₂ описывается уравнением

.

Первый множитель, стоящий в квадратных скобках, изменяется гораздо медленнее, чем второй, поэтому его можно рассматривать как ампли­туду. Максимальное значение амплитуды достигается, если

Отсюда для групповой скорости получаем

или

(28.3)

Найдем связь между групповой и фазовой скоростью. Так как =2, то

(28.4)

Далее имеем , а так как , где n — показатель преломления, то

откуда

(28.5)

Подставляя (28.4) и (28.5) в (28.3), окончательно получаем:

(28.6)

Из (28.6) видно, что групповая и фазовая скорости совпадают лишь в том случае, когда dn/d, т.е. показатель преломления n не за­висит от частоты световой волны. В общем случае uv, поскольку n=n().

Круг явлений, в которых наблюдается зависимость показателя пре­ломления n от частоты , называется дисперсией.

28.2. Элементарная классическая теория дисперсии

Используя выражение (24.13), устанавливаем связь между показате­лем преломления среды и диэлектрической проницаемостью:

Поскольку æ (см. формулу (12.16)), где æ — диэлект­рическая восприимчивость вещества, то

(28.7)

Таким образом, для нахождения функции n=n().необходимо найти зависимость æ от частоты 

Так как световые волны обладают очень высокой частотой ( 10¹⁵Гц), то их действие на атомы вещества сводится к смещению электронов в электрическом поле световой волны и появлению деформа­ционной поляризации.

Рассмотрим простейший случай, когда атом имеет лишь один элект­рон. Под действием световой волны

(28.8)

электрон совершает вынужденные колебания, уравнение которых (см. § 21.12):

где амплитудное значение силы, действующей на электрон се стороны электрической составляющей световой волны,

(28.9)

m —масса электрона.

Электрон смещается от положения равновесия на величину x в результате чего атом приобретает наведенный дипольный момент p_e=ex. Пусть n_o — число атомов в единице объема вещества. Тогда поляризованность

(28.10)

Однако поляризованность связана с напряженностью электрического поля соотношением (12.10). Сравнивая (28.10) и (12.10), находим ди­электрическую восприимчивость

Подставим в это выражение величину смещения x из (21.48) и значение E из (28.8). После сокращения на e_it получим

(28.11)

где A— амплитуда;  — начальная фаза вынужденных колебаний электрона.

Используя формулу Эйлера (cм. Математическую справку), найдем действительную часть выражения (28.11):

Таким образом,

(28.12)

Воспользовавшись известным тригонометрическим тождеством

и учтя (21.51), получим

(28.13)

Подставляя (28.13) и (21.50) в (28.12) и учитывая (28.9), по­лучаем

(28.14)

Если затухание отсутствует (= 0), то

(28.15)

Из выражения (28.15) видно, что в области частот _o при _o n², а в области частот _o при _o n² – (рис.28.1,а).

Рис. 28.1

Физически бессмысленные бесконечные значения n² при =_o получены из-за нашего предположения об отсутствии затухания. На самом деле 0 и функция n²( ограниченна и не­прерывна. График зависимости n²( при 0 показан на рис. 28.1, б. В области частот I и Ш показатель преломления уве­личивается с ростом частоты. Это области нормальной дисперсии. Вблизи от частоты собственных колебаний электрона _о — область II показа­тель преломления резко уменьшается с ростом частоты световых воли — это область аномальной дисперсии. Поскольку на частотах, близких к _о, вещество поглощает свет (см. § 28.3), то область аномальной дисперсии совпадает с полосой собственного поглощения ве­щества.