26.1. Принцип Гюйгенса-Френеля. Расчет дифракционной картины методом зон Френеля

Дифракцией называется огибание волной малых препятствий (обычно соизмеримых с длиной волны) и проникновение ее в область геометрической тени. Дифракция света наблюдается при распространении световых волн вблизи резких краев непрозрачных или прозрачных веществ, при прохождении света через узкие отверстия и в среде с резкими неоднородностями.

Качественно явление дифракции можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса: каждая точка волнового фронта — это источник вторичных сферических волн, огибающая которых представляет собой фронт волны в последующий момент времени.

Рис. 26.1

Рассмотрим применение этого принципа на примере дифракции света на узкой щели. Из рис. 26.1 видно, что вблизи краев щели новый фронт волны изгибается, вследствие чего свет заходит в область геометрической тени, т.е. наблюдается явление дифракции.

Однако принцип Гюйгенса не дает возможности ответить на вопрос, какова интенсивность света, зашедшего в область геометрической тени. Для ответа на этот вопрос нужно использовать более общий принцип Гюйгенса-Френеля. В его основу положен принцип Гюйгенса, который дополняется принципом когерентности вторичных сферических волн. С учетом этого принцип Гюйгенса-Френеля можно сформулировать следующим образом. Каждую точку волнового фронта в данный момент времени можно рассматривать как источник вторичных сферических волн, которые когерентны и поэтому могут интерферировать между собой. Фронт волны в последующий момент времени находится как огибающая вторичных сферических волн. Интенсивность света в данной точке определяется результатом интерференции вторичных волн, дошедших до этой точки.

Для вычисления интенсивности света в какой-нибудь точке пространства во многих случаях удобно пользоваться методом, разработанным Френелем (метод зон Френеля). Основная идея этого метода состоит в том, что фронт волны разбивается на зоны (участки) так, чтобы расстояние от краев соседних зон до рассматриваемой точки отличалось на /2.

На рис. 26.2 показан пример построения зон Френеля для сферического фронта. Фронт волны рассекается на отдельные участки плоскостями, перпендикулярными к плоскости рисунка, так что

,

(26.1)

Рис. 26.2

где r_n — расстояние от края n-й зоны до рассматриваемой точки P.

Обозначим через E_i амплитуду электрического вектора световой волны, приходящей в точку P от i-й зоны. В точке P происходит сложение колебаний с амплитудами E₁, E₂, E₃, ... . С учетом (26.1) можно утверждать, что соседние зоны "посылают" в точку P световые колебания в противофазе, поэтому результирующая амплитуда колебаний

.

(26.2)

Для нахождения знакопеременной суммы (26.2) следует ввести дополнительные предположения о соотношениях между амплитудами E₁, E₂, E_n, ... . Эти соотношения зависят от вида волнового фронта световой волны и будут рассмотрены далее.

26.2. Дифракция сферических волн (дифракция Френеля)

Рис. 26.3

1. Дифракция на малом круглом отверстии. Пусть сферический фронт достигает непрозрачного экрана, в котором вырезано малое круглое отверстие (рис. 26.3). Необходимо найти интенсивность света в точке P, находящейся за экраном. Для простоты ограничимся случаем, когда прямая SP проходит через центр отверстия.

Предположим, что размеры отверстия таковы, что из точки P "видно" n зон Френеля. Тогда ряд (26.2) обрывается на n-м члене:

.

(26.3)

Для вычисления суммы (26.3) Френель предположил, что в случае сферического фронта последовательность E₁, E₂, ..., E_n — убывающая арифметическая прогрессия, т.е.

E1 > E2 >... > En

(26.4)

и, кроме того, на основании основного свойства арифметической прогрессии

Ei+1 – Ei = Ei – Ei-1.

(26.5)

Качественно соотношения (26.4) можно обосновать следующим образом. Несмотря на то, что площади зон одинаковы, их видимая площадь при наблюдении из точки P убывает по мере продвижения от центральной зоны к периферии по закону S_k = S₁cos _k, где _k — угол между нормалью к k-й зоне и направлением на точку P. Если представить зоны как светящиеся полоски, то соответствующим образом будет убывать и вклад каждой из последующих зон в суммарную амплитуду колебаний в точке P.

Из (26.5) следует

.

(26.6)

С помощью (26.6) легко провести суммирование в (26.3). Результат зависит от того, четное или нечетное число зон открыто отверстием.

Пусть n — нечетное число. Для определенности возьмем n=5. Представим (26.3) в виде

.

Выражения в скобках в соответствии с (26.6) равны нулю, поэтому

.

В общем случае для нечетного n

.

Можно показать, что если открыто четное число зон Френеля, то

.

Таким образом,

,

(26.7)

причем знак "+" берется, если n — нечетное, и "–", если n — четное число.

Итак, в точке P наблюдается максимум интенсивности, если открыто нечетное число зон Френеля, и минимум, если открыто четное число зон. Поскольку с ростом n амплитуда E_n убывает, то по мере увеличения диаметра отверстия интенсивность максимумов будет уменьшаться. В пределе при n   (экран отсутствует) E_n  0 и , а интенсивность . Если же размеры щели таковы, что открывается лишь первая зона Френеля, то в точке P наблюдается наиболее интенсивный максимум: .

Рис. 26.4

Рис. 26.5

Качественно зависимость амплитуды колебаний в точке P от числа открытых зон Френеля показана на рис. 26.4.

2. Дифракция на непрозрачном круглом экране. Пусть непрозрачный круглый экран закрывает k-1 первых зон Френеля, так что из точки P виды все последующие зоны, начиная с k-й (рис. 26.5). Амплитуда колебаний в точке P

.

Представив эту сумму в виде

Выражения в скобках в соответствии с (26.6) равны нулю, поэтому

.

(26.8)

Таким образом, в точке P (центре геометрической тени) будет наблюдаться светлое пятно. Интенсивность этого пятна убывает с увеличением размеров экрана (E_k  0 при k  ), поэтому для достаточно больших экранов явление дифракции не наблюдается.