24.1. Уравнение плоской электромагнитной волны

Уравнениям Максвелла в интегральной форме, приведенным в §  20.2, с помощью известных теорем векторного анализа (теорем Стокса и Остроградского-Гаусса) можно придать дифференциальную форму (см. приложение 5):

(24.1)

В координатной форме уравнения Максвелла (24.1) имеют вид

(24.2)

Рассмотрим случай неограниченной однородной среды, представляющей собой диэлектрик, в котором отсутствуют электрические заряды. Для такой среды и  = 0. Кроме того, будем предполагать, что векторные характеристики электромагнитного поля (и соответственно и ) зависят только от координаты x. Тогда система уравнений (24.2) принимает вид

(24.3)

Из уравнений (a), (d), (g) и (h) следует, что x-компоненты электромагнитного поля B_x и D_t не зависят от x и t, т.е. B_x(x,t)=const, D_x(x,t)=const.

Оставшиеся четыре уравнения распадаются на две независимых системы уравнений. В одну из них входят y-компоненты электрического поля и z-компоненты магнитного поля, а в другую — z-составляющие электрического и y-составляющие магнитного поля:

	(24.4)
	(24.5)

Эти системы уравнений однотипны, поэтому ограничимся рассмотрением одной из них — системы уравнений (24.4).

Учитывая, что D=_E, а B=_H, перепишем систему уравнений (24.4) в виде

;	(24.6)
.	(24.7)

Теперь, чтобы найти зависимость изменений электрического поля в пространстве от его же изменений во времени, продифференцируем (24.6) и (24.7) соответственно по координате и времени:

;	(24.8)
.	(24.9)

Смешанные производные равны, т.е. , поэтому из (24.8) и (24.9) легко получить

.

(24.10)

Последнее уравнение и представляет собой уравнение плоской электромагнитной волны. Аналогичное уравнение можно получить и для магнитной составляющей

.

Сравнивая (24.10) с (22.5), можно установить, что скорость электромагнитной волны определяется выражением

.

(24.11)

Сомножитель — это скорость распространения электромагнитных волн в вакууме:

 м/с.

Таким образом, скорость распространения электромагнитных волн в вакууме совпадает со скоростью света. В среде скорость распространения электромагнитных волн уменьшается:

.

(24.12)

Поскольку у большинства веществ (кроме ферромагнетиков)   1, то с большой степенью точности можно записать

.

(24.13)

Электромагнитные волны являются поперечными: векторы напряженности электрического (E) и магнитного (H) полей, а также направление скорости распространения электромагнитной волны образуют тройку взаимно перпендикулярных векторов (рис. 24.1). Заметим, что колебания электрического и магнитного полей в бегущей электромагнитной волне происходят в одинаковой фазе.

Рис. 24.1