1.5. Применение теоремы Остроградского-Гаусса для расчета полей

Теорема Остроградского-Гаусса в ряде случаев позволяет сравнительно просто рассчитать напряженность электростатического поля при заданном распределении зарядов. Рассмотрим несколько примеров.

1.5.1. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Пусть имеется бесконечная равномерно заряженная плоскость с поверхностной плотностью заряда

[Кл/м²]

Из соображений симметрии следует, что вектор должен быть перпендикулярным к плоскости. Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра, боковая поверхность которого ориентирована вдоль вектора (рис. 11.8). Суммарный поток вектора , очевидно, составляет

Рис. 1.8

.

Поток через боковую поверхность равен нулю, так как   (рис. 1.8):

.

Поток через основание цилиндра:

.

Таким образом, полный поток вектора Е через замкнутую поверхность .

По теореме Остроградского-Гаусса . Отсюда напряженность поля

, (1.14)

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, не зависит от расстояния до нее. Поле, в котором вектор напряженности одинаков по величине и направлению, называется однородным.

11.5.2. Поле двух бесконечных равномерно заряженных плоскостей

Рассчитаем напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, равномерно заряженными с поверхностной плотностью заряда +σ и -σ (рис. 11.9).

Рис. 1.9

Согласно принципу суперпозиции суммарная напряженность поля

,

где и – напряженность поля, создаваемого соответственно положительно и отрицательно заряженными плоскостями.

В областях пространства I и III (рис. 1.9) векторы и направлены в противоположные стороны, поэтому суммарная напряженность

В области II и параллельны и равны по модулю, поэтому .Используя предыдущий результат, получим .

Аналогично можно показать, что если плоскости заряжены одноименно, то во внешних областях I и III напряженность поля определяется формулой (11.I5), а во внутренней области I , что используется для электростатической защиты приборов.

11.5.3. Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной нити с линейной плотностью заряда

[Кл/м]

Рис. 1.10

Используя теорему Остроградского-Гаусса, можно показать, что в этом случае

.

(1.16)

При выводе формулы (1.16) следует выбрать замкнутую поверхность в виде цилиндра (рис. 1.10) и учесть, что вектор перпендикулярен к нити и поэтому поток вектора через основания цилиндра равен нулю.

11.6. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле. Теорема о циркуляции вектора

Найдем элементарную работу по перемещению заряда q в поле, создаваемом зарядом Q:

где  – угол между силой и направлением перемещения .

Из рис. 1.11 видно, что .поэтому

Суммарную работу но перемещению заряда q из точки А в точку B получим интегрированием выражения (11.17). Используя закон Кулона, получаем . Окончательно

, (1.18)

Если заряд перемещается из точки A в точку B по другому пути, то, проделав такие же выкладки, снова придем к формуле (11.18). Следовательно, работа в электростатическом поле не зависит от формы пути, а зависит лишь от выбора начальной и конечной точки. Кроме того, как видно из (11.18), работа по перемещению заряда в электростатическом поде по замкнутому контуру равна нулю, т.е. , (1.19)

Рис. 1.11

Эти признаки означают, что электростатическое поле является потенциальным. В соответствии с результатом, полученным в §  3.3, работу потенциальных (консервативных) сил можно выразить через разность потенциальных энергий:

Из сопоставления (11.18) и (11.20) заключаем, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов

.	(1.20)
.	(1.21)

Введем теперь энергетическую характеристику электростатического поля – потенциал. Потенциалом называется скалярная величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в данную точку поля:

.

(1.22)

Единицей потенциала электростатического поля является вольт. Один вольт – это потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией в 1 Дж: 1 В = 1 Дж/Кл.

Потенциал поля точечного заряда найдем, подставив (1.21) в (1.22):

.

(1.23)

И, наконец, с помощью (1.22) выражение (1.20) для работы по перемещению заряда в электростатическом поле из одной точки в другую можно представить как произведение заряда на разность потенциалов:

.

(1.24)

Преобразуем теперь выражение (11.19) следующим образом:

.

(1.25)

где учтено, что сила, действующая на заряд в электростатическом поле,

.

(1.26)

а кружок означает, что интегрирование проводится по замкнутому контуру.

Из (1.25) следует

.

(1.27)

Интеграл, фигурирующий в (1.27), называется циркуляцией напряженности электростатического поля. Из (1.27) видно, что циркуляция вектора равна нулю. Этот результат получен из того факта, что работа в электростатическом поле не зависит от формы пути. Поэтому равенство нулю циркуляции вектора есть также признак того, что электростатическое поле является потенциальным.