17.9. Эффект Холла

В 1879 г. Э. Холл экспериментально установил, что если металлическую (или полупроводниковую) пластинку с током поместить в магнитном поле так, чтобы вектор плотности тока был перпендикулярен к линиям индукции , то на гранях пластинки, параллельных векторам и возникает поперечная разность потенциалов (рис. 17.11):

,

(17.33)

где R_H – постоянная Холла; b – толщина пластинки (рис. 17.11).

Рис. 17.11

Будем считать для определенности, что носителями тока являются положительные заряды. Тогда вектор скорости направленного движения совпадает с вектором плотности тока .

На движущиеся в пластине заряды действует сила Лоренца, которая отклоняет их к верхней грани пластинки, где они скапливаются. Соответственно на нижней грани будут накапливаться отрицательные заряды. Это приведет к появлению поперечного электростатического поля, которое будет препятствовать дальнейшему накоплению зарядов на гранях пластинки. Стационарное состояние возникнет в тот момент, когда сила Лоренца F_Л = uB уравновешивается электростатической силой F_e = qE:

.

(17.34)

Считая электростатическое поле однородным, выражаем его напряженность через разность потенциалов:

.

(17.35)

Из выражения для вектора плотности тока (15.3) найдем скорость направленного движения зарядов и совместно с (17.36) подставим в (17.34). В результате получаем

.

(17.36)

Тем самым формула (17.33), установленная Холлом экспериментально, получила теоретическое обоснование. Из сопоставления (17.33) и (17.36) находим постоянную Холла

,

(17.37)

значение которой зависит от вещества. Для металлов, у которых n10²² cм^‑3 R_H10^‑3 cм^‑3/Кл; у полупроводников R_H10⁵ cм^‑3/Кл. Знак R_H совпадает со знаком носителей заряда.

Эффект Холла имеет ряд разнообразных практических применений. Так, датчики Холла используется для измерения магнитных полей, а постоянная Холла позволяет установить знак носителей заряда в данном веществе и определить их концентрацию. Эффект Холла используется также в аналоговых вычислительных машинах для выполнения операции умножения.

17.10. Сила Ампера

Рис. 17.12

Поместим проводник с током во внешнее магнитное поле. Пусть  – угол между вектором магнитной индукции и направлением тока (рис. 17.12). Выделим элемент тока длиной dl, внутри которого движется заряд dQ. Со стороны магнитного поля на этот заряд действует сила Лоренца

,

где v – скорость направленного движения заряда. Поскольку

,

то

.

(17.38)

Это и есть выражение силы Ампера. В векторной форме

.

Если проводник конечной длины l поместить в однородное магнитное поле, модуль силы Ампера

.

(17.39)

Наибольшее значение сила Ампера приобретает в том случае, если направление тока перпендикулярно к вектору . Тогда sin  = 1 и

.

(17.40)

Если в (17.40) положить I=1, l=1, то B=F, т.е. вектор магнитной индукции численно равен силе, действующей со стороны магнитного поля на проводник единичной длины, по которому протекает единичной силы ток (сравните с определением, приведенным в §  17.2, п. 3). Измеряется вектор магнитной индукции в тесла: 1 Тл=1 Н/(Ам). Рассмотрим теперь взаимодействие двух параллельных токов I₁ и I₂ (рис. 17.13). Каждый из токов находится в магнитном поле, создаваемом другим током, поэтому на каждый из них действует сила Ампера:

;

.

Рис. 17.13

Здесь мы воспользовались выражением для вектора магнитной индукции, создаваемой прямолинейным током бесконечной длины (17.21). Видно, что силы F₁ и F₂ равны по значению. Если токи направлены в одну и ту же сторону, то силы F₁ и F₂ направлены навстречу друг другу, т.е. в этом случае проводники притягиваются.

Сила, действующая на единицу длины проводника,

, (17.41)

Из формулы (17.41) устанавливается единица силы тока 1 А. Положим ₀ = 1, d=1 м, I₁ = I₂ = 1 А, тогда из формулы (17.41) следует

.

Определение Ампера дано во Введении.