Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Электомагнетизм (2 семестр).doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
4.26 Mб
Скачать

15.3.2. Закон Ома для полной цепи

При обходе полной цепи начальная и конечная точки совпадают, поэтому ;

E .

(15.11)

Здесь под R0 следует понимать сумму внешнего R и внутреннего r сопротивлений. Произведя в (15.11) замену R0=R+r, получим закон Ома для полной цепи:

I= E /(R+r)

(15.12)

15.3.3. Закон Ома для однородного участка цепи

Однородным называется участок цепи, не содержащий источника ЭДС, т.е. в формуле (15.10) нужно положить  E =0. Тогда .

В данном случае падение напряжения совпадает с разностью потенциалов U= 1 - 1, т. е.

,

(15.13)

что также совпадает с (15.9).

Формулы (15.9) и (15.13) представляют закон Ома в интегральной форме.

15.3.4. Закон Ома в дифференциальной форме

Рис. 5.3

Выделим внутри проводника с током элементарный цилиндр сечением  S и длиной  l (рис. 15.3). Сила тока в нем I=S, а его сопротивление , где   – удельное сопротивление проводника. Разность потенциалов на концах цилиндра  . Тогда закон Ома (см. (15.9)) запишем в виде

или .

С учетом (11.30) последнее выражение можно преобразовать к виду

.

(15.14)

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью: .

Тогда закону Ома в дифференциальной форме (15.4) можно придать вид

15.4. Закон Джоуля-Ленца

15.4.1. Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме

Джоуль и независимо от него Ленц экспериментально установили, сто количество теплоты, выделенной в проводнике сопротивлением R за время dt, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению и времени:

.

(15.16)

Формула (15.16) представляет закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

15.4.2. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

Выделим, как и ранее, внутри проводника элементарный цилиндрический объем (рис. 15.3). Заменим в (15.16) . Тогда где V= lS – объем проводника. Введем в рассмотрение удельную мощность теплоты

[Дж/м3с = Вт/м3].

(15.18)

Удельная мощность теплоты численно равна количеству теплоты, выделенной в единице объема проводника за единицу времени. Другими словами – это тепловая мощность, развиваемая в единице объема. С учетом (15.18) выражению (15.17) можно придать вид

.

Поскольку , то

(15.19)

или .

(15.20)

Формулы (15.19) и (15.20) представляют закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Лекція 24.

15.5. Обоснование законов Ома и Джоуля-Ленца по классической электронной теории

В классической электронной теории металлов принимается следующая модель.

1. Носителями тока в металлах являются свободные электроны.

2. Свободные электроны образуют электронный газ, который по своим свойствам аналогичен идеальному газу. Имеется лишь одно различие: электроны при своем движении сталкиваются не между собой, а с ионами кристаллической решетки.

3. Под действием электрического поля электроны наряду с хаотическим движением со скоростью начинают двигаться направлено со скоростью . При этом скорость направленного движения значительно меньше скорости хаотического движения

.

(15.21)

Найдем скорость направленного движения электронов. Предположим, что в момент времени t=0 скорость направленного движения электронов u0=0. Под действием силы F=eE электрон в соответствии со вторым законом Ньютона начинает двигаться ускоренно:

.

Скорость направленного движения электрона

.

(15.22)

Рис. 15.4

Из формулы (15.22) следует, что скорость электрона u с течением времени должна возрастать неограниченно. Однако через некоторый промежуток времени   электрон испытывает столкновение с ионом кристаллической решетки и останавливается. Схематически зависимость скорости направленного движения от времени изображена на рис. 15.4.

Среднее время между двумя последовательными столкновениями электрона

,

(15.23)

где  – средняя длина свободного пробега электрона;  – среднее значение его скорости, которая является векторной суммой скоростей хаотического и направленного движений.

В силу неравенства (15.21) скоростью направленного движения можно пренебречь, поэтому

.

(15.24)

Заменив в формуле (15.22) время t на  , найдем максимальную скорость направленного движения электрона

.

(15.25)

Средняя скорость направленного движения электрона

.

(15.26)

Подставим (15.26) в выражение для плотности тока (15.3):

.

(15.27)

Из сопоставления (15.27) и (15.15) видно, что удельная проводимость металла

.

(15.28)

Тем самым удалось не только теоретически обосновать закон Ома, но и выразить удельную проводимость и, следовательно, удельное сопротивление

.

(15.29)

через характеристики электронного газа.

Исходя из представлений классической электронной теории металлов, получим теперь закон Джоуля–Ленца.

К концу свободного пробега электрон обладает кинетической энергией направленного движения . Эту энергию электрон полностью передает иону кристаллической решетки при столкновении с ним. Множество таких столкновений приводит к выделению джоулевой теплоты. Если концентрация электронов n, и каждый из них сталкивается раз за 1 с, то в единичном объеме проводника выделиться мощность

.

Подставляя сюда значение максимальной скорости направленного движения электрона из (15.25) и учитывая, что среднее число столкновений за 1 с

,

получаем закон Джоуля–Ленца

.

(15.30)

Из сопоставления (15.30) и (15.20) находим такое же выражение для удельной теплопроводности, как и в законе Ома (см. (15.28)).

Несмотря на очевидные успехи классической электронной теории металлов, она, тем не менее, столкнулась с рядом трудностей. В частности классическая теория неправильно предсказывает зависимость сопротивления металла от температуры. Анализ выражения (15.29) показывает, что от температуры зависит лишь скорость хаотического движения. При этом (см. формулу (8.18)) , следовательно, удельное сопротивление . Между тем опыт показывает, что  линейно зависит от температуры ,

Рис. 15.5

где  0 – удельное сопротивление при температуре t=0 0C;   – температурный коэффициент сопротивления. Более того, в области низких температур (T < Tк) сопротивление многих металлов скачком обращается в нуль – наступает явление сверхпроводимости (рис. 15.5).

Трудности классической теории были устранены квантовой теорией электропроводности (§  31.3).