13.3.1. Плоский конденсатор

Плоский конденсатор – это две проводящие плоские пластины площадью S, разделённые слоем диэлектрика толщиной d.

Согласно (11.37) разность потенциалов между обкладками конденсатора

.

(13.6)

где  – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между обкладками.

Подставив (13.6) в (13.5) и заменив Q=S, получим ёмкость плоского конденсатора

.

(13.7)

13.3.2. Цилиндрический конденсатор

Цилиндрический конденсатор - это два полых коаксиальных проводящих цилиндра с радиусами r₁ и r₂ (r₁>r₂), между которыми находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью .

Согласно (11.36) разность потенциалов между обкладками конденсатора

.

(13.8)

Подставив (13.8) в (13.3) и произведя замену Q=l, получим выражение для ёмкости цилиндрического конденсатора:

.

(13.9)

Цилиндрическими конденсаторами являются, например, коаксиальные кабели, широко применяющиеся в высокочастотной технике.

Рассмотрим теперь параллельное и последовательное соединения конденсаторов.

Рис. 13.4

При параллельном соединении (рис. 13.4) напряжения на конденсаторах одинаковы: U₁=U₂…=U, а заряды складываются: Q=Q₁+Q₂+… . Поэтому ёмкость батареи из нескольких параллельно соединённых конденсаторов

; ,

т.е. общая ёмкость равна сумме ёмкостей. При последовательном соединении (рис. 13.5) заряды конденсаторов одинаковы: Q₁=Q₂…=Q_n, а напряжения складываются: , поэтому

Рис. 13.5

; ,

т.е. при последовательном соединении складываются величины, обратные ёмкостям. При этом ёмкость батареи конденсаторов всегда меньше ёмкости каждого из них, однако, распределение напряжения по отдельным конденсаторам позволяет использовать такую батарею в высоковольтных цепях.

14. Энергия электростатического поля

14.1. Энергия системы точечных зарядов

Рис. 14.1

Найдём вначале потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов Q₁ и Q₂, расположенных на расстоянии r друг от друга (рис. 14.1). Эта энергия может быть найдена как произведение заряда Q₁ на потенциал поля _, создаваемого зарядом Q₂ в точке, где расположен заряд Q₁:

.

(14.1)

Однако эту же энергию можно представить как произведение заряда Q₂ на потенциал поля ₂, создаваемого зарядом Q₁ в точке, где находится второй заряд Q₂:

.

(14.2)

Из сопоставления (14.1) и (14.2) видно, что Q₁_ Q₂_, поэтому энергию системы из двух точечных зарядов можно представить в симметричном виде:

.

(14.3)

В общем случае системы из n точечных зарядов формула (14.3) обобщается:

.

(14.4)

где _i – потенциал поля, создаваемого всеми зарядами, кроме i-го, в точке, где расположен i-ый заряд.

14.2. Энергия заряженного проводника

Заряд, расположенный на поверхности проводника, можно рассматривать как систему точечных зарядов, поэтому для вычисления энергии заряженного проводника можно воспользоваться формулой (14.4). Потенциал любой точки поверхности проводника одинаков (_i=), поскольку его поверхность эквипотенциальна. Следовательно, в формуле (14.4) потенциал можно вынести за знак суммы:

или , (14.5) где – заряд проводника.

С учётом (13.3) выражение для энергии заряженного проводника можно представить в виде

(14.6)

или

(14.7)