4.4.8. Множество истин арифметики

Сначала установим важный факт, относящийся к числовым множествам.

Говорят, что множество натуральных чисел N выразимо с помощью множества истин T, если существует такая вычислимая функция F: U^*, что nN тогда и только тогда, когда F(n)T.

Теорема. Множество истин T выражает хотя бы одно неперечислимое множество натуральных чисел N тогда и только тогда, когда не существует дедуктики <D,D> адекватной T.

Доказательство.

[] Пусть множество N неперечислимо и выразимо множеством истин T с помощью вычислимой функции F: U^*. Имеем N = F^–1 (Im F  T). Но множество значений Im F вычислимой функции натурального ряда перечислимо по лемме 4. Значит множество T неперечислимо, иначе множество Im F  T было бы перечислимо и множество N было бы перечислимо по лемме 5. Для неперечислимого множества истин адекватной дедуктики не существует.

[] Пусть для множества истин T адекватной дедуктики не существует. Тогда множество Т неперечислимо. Но множество U^* перечислимо, пусть оно перечисляется вычислимой функцией F: U^*. Имеем T=F(F^–1(T)). Положим N := F^–1(T). Заключаем по лемме 5, что множество N неперечислимо и выразимо множеством истин T. чтд

Данный факт сводит несуществование адекватной дедуктики к выразимости неперечислимых числовых множеств. Но, может быть, ещё не всё потеряно и такие множества истин нам просто не нужны, и про них можно забыть? К сожалению, это не так. Неприятные случаи совсем рядом. Рассмотрим в качестве примера множество истин арифметики.

Арифметика — понятие натуральных чисел, операции сложения, умножения, отношения между натуральными числами — это такой элемент общей культуры (не только раздел математики), без которого существование современного человечества трудно себе представить. Как и ранее, обсуждение вопросов о том, является ли арифметика откровением, данным Богом, или же это итог развития науки, является ли способность к счёту врожденной или благоприобретённой, уведут нас далеко от рассматриваемого предмета: дискретная математика для программистов.

Зафиксируем язык арифметики, определённый в п.4.4.7. В этом языке используются: цифры для записи натуральных чисел, буквы для записи переменных, операции сложения + и умножения , отношение =, логические связки ,  и кванторы , .

Далее из этих символов в языке арифметики допускается строить следующие конструкции.

1. Термы. Все числа и переменные суть термы. Выражения вида (t+u) и (tu), где t и u суть термы, также суть термы. Все переменные в терме являются его параметрами. Терм без параметров называется константой.

2. Атомы. Выражения вида (t=u), где t и u суть термы, называются атомами, или элементарными формулами. Параметрами атомов являются объединение параметров термов.

3. Формулы. Если A и B суть формулы, а x — переменная, то А, АB, x A, x A тоже формулы. Кванторы исключают свои переменные из числа параметров подкванторной формулы.

Далее формулам без параметров (суждениям) сопоставляются истинностные значения T и F по правилам п. 4.4.2. Все суждения арифметики, имеющие истинностное значение T, образуют множество истин арифметики T.

Охарактеризуем класс арифметических множеств. Рассмотрим класс формул языка арифметики не более чем с одним параметром. Будем обозначать такие формулы (x). Тогда для любого конкретного x формула (x) — суждение, и имеет истинностное значение. Множество М := { x | (x) = T} называется сопряженным с формулой (x). Арифметические множества обладают рядом полезных свойств.

Свойство 1. Дополнение к арифметическому множеству есть арифметическое множество.

Доказательство. Если M сопряжено с , то  \ M сопряжено с . чтд

Свойство 2. Объединение и пересечение арифметических множеств суть арифметические множества.

Доказательство. Если M сопряжено с , N сопряжено с , то MN сопряжено с , MN сопряжено с . чтд

Свойство 3. Арифметическое множество выразимо множеством истин арифметики.

Доказательство. Пусть M сопряжено с , определим F: bool следующим образом: F(x):= (x). чтд

Арифметика, как система операций с целыми (и натуральными) числами реализована в подавляющем большинстве компьютеров. Опыт программирования этих компьютеров приводит к убеждению, что любую вычислимую функцию натурального ряда можно запрограммировать, если отвлечься от того обстоятельства, что память компьютера конечна и слишком большие числа могут не поместиться. Впрочем, память можно увеличить и считать потенциально бесконечной. Следовательно, всякое перечислимое множество натуральных чисел (как множество значений вычислимой функции) может быть запрограммировано с помощью машинных операций. Основываясь на этих соображениях, мы принимаем, что имеет место

Аксиома [арифметичности]. Всякое перечислимое множество натуральных чисел является арифметическим.

Принятая аксиома позволяет в несколько шагов закончить доказательство первой теоремы Гёделя о неполноте.

Шаг 1. Существует неперечислимое арифметическое множество.

Доказательство. Рассмотрим множество N, построенное в доказательстве следствия 5 п. 4.4'.6. Это множество перечислимо и имеет неперечислимое дополнение по следствию 6. Но само множество N арифметическое по аксиоме арифметичности и его дополнение арифметично по свойству 1. чтд

Шаг 2. Существует непечислимое множество, выразимое множеством истин арифметики.

Доказательство. По свойству 3. чтд

Шаг 2. Не существует дедуктики, адекватной множеству истин арифметики.

Доказательство. По теореме. чтд

Таким образом, для любого точно сформулированного понятия доказательства найдется либо доказуемое, но ложное утверждение, формулируемое на языке арифметики, либо истинное утверждение того же языка, не являющееся доказуемым.

Список литературы

. . .

32. Успенский В.А. Теорема Гёделя о неполноте. – М.: Наука, 1982. – 112с.

1 Успенский Владимир Андреевич (р. 1930)

2 Андрей Петрович Ершов, 1931–1988.

18