Логические выражения и логические операции.

Каждое сложное высказывание можно выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные (Х, У и т.д.) и знаки логических операций (,  и т.д.).

Пример: Х  У

Любое логическое выражение можно рассматривать как логическую функцию, аргументами которой являются логические переменные. И сама функция, и аргументы могут принимать только два значения: «истина» или «ложь» – 0 или 1. Функции такого вида называются булевыми по имени Джорджа Буля (1815-1864), английского математика и логика (отца Этель Лилиан Войнич).

Унарные функции (операции)

Унарные функции имеют один аргумент.

Отрицание - логическая операция инверсии (логическое "НЕТ"), результатом которой является суждение «противоположное» исходному. Обозначается X или Х, читается не X, удобно представить в виде таблицы:

X	X
0	1
1	0

ЛОЖЬ = 0, ИСТИНА = 1 или

X	X
ложь	истина
истина	ложь

Повторение - тождественная функция, логическое "ДА". Таблица истинности:

X	X
0	0
1	1

Тождественный ноль, тождественная ложь, тождественное "НЕТ". Таблица истинности:

X	0
0	0
1	0

Тождественная единица, тождественная истина, тождественное "ДА". Таблица истинности:

X	1
0	1
1	1

Все четыре унарные функции можно представить в одной таблице:

X	0	X	X	1
0	0	1	0	1
1	0	0	1	1

Пример. Пусть аргументы унарной функции описывают состояние погоды: Х = 1 – светит солнце (хорошая погода), а Х = 0 –дождливая погода (плохая погода). Пусть результаты унарной функции описывают поведение детей с различными характерами и, поэтому, с разными отношениями к прогулкам: Y = 1 – ребенок гуляет на улице, Y = 0 – ребёнок сидит дома. Тогда таблица примет вид:

Погода	«домосед»	«упрямец»	«послушный»	«гулёна»
плохая	сидит дома	гуляет	сидит дома	гуляет
хорошая	сидит дома	сидит дома	гуляет	гуляет

Бинарные функции

Бинарные функции имеют два аргумента.

Дизъюнкция¹ (логическое «ИЛИ», логическое сложение) - логическая операция по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». Обозначается X  Y (или X  Y), читается X или Y, удобно представить в виде таблицы истинности:

X	Y	X  Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Пример: Пусть Х=1, Y=-1

если 1<Х<3 или Y<0, то Х=Х+1; иначе Х=Х-2

Выражение А=(1<Х<3)=ЛОЖЬ, выражение B=(Y<0)=ИСТИНА, выражение C=AB=ИСТИНА. Следовательно, Х=2.

Конъюнкция² (логическое "И", логическое умножение) - логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу "и". Обозначается X  Y (или X  Y, X & Y), читается X и Y, таблица истинности:

X	Y	X  Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Пример: Х=1, Y=-1

если 1<Х<3 и Y<0, то Х=Х+1; иначе Х=Х-2

Выражение А=(1<Х<3)=ЛОЖЬ, выражение B=(Y<0)=ИСТИНА, выражение C=AB= ЛОЖЬ. Следовательно, Х=-1.

Штрих Шеффера (операция И-НЕ) — обозначается X | Y, таблица значений:

X	Y	X | Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Штрих Шеффера можно выразить через отрицание и конъюнкцию:

X | Y =  (X  Y)

Чтобы это показать, построим таблицу для конъюнкции и инвентируем результат:

X	Y	X  Y	 (X  Y)
0	0	0	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

Генри Морис Шеффер (1882 — 1964) — американский логик.

Стрелка Пирса (операция ИЛИ-НЕ) — означает «ни X, ни Y», обозначается X ↓ Y, таблица значений:

X	Y	X ↓ Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Стрелку Пирса можно выразить через отрицание и дизъюнкцию:

X ↓ Y =  (X  Y)

Чтобы это показать, построим таблицу для дизъюнкции и инвентируем результат:

X	Y	X  Y	 (X  Y)
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	0

Чарльз Сандерс Пирс (1839 — 1914), американский философ, логик, математик.

Импликация (implication (англ.) - следствие, вывод) - логическая операция, по своему применению приближенная к союзам «если… то…». Обозначается X  Y (или X  Y), таблица истинности:

X	Y	X  Y
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Пример: "Житейская" модель импликации: Х — начальник. Он может приказать "работай" (1) или сказать "делай что хочешь" (0). Y — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — послушание подчиненного начальнику. Послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

Пример: если фигура А квадрат, то фигура А — прямоугольник (1,0, 0).

Эквивалентность — логическая операция. Обозначается X ≡ Y (или X ↔ Y), означает «X то же самое, что Y», «X эквивалентен Y», «X тогда и только тогда, когда Y». Таблица истинности:

X	Y	X ≡ Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Тождественный ноль, тождественная ложь, тождественное "НЕТ". Таблица истинности:

X	Y	0
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Тождественная единица, тождественная истина, тождественное "ДА". Таблица истинности:

X	Y	1
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Все названные бинарные функции можно представить в одной таблице:

X	Y	0	X  Y	X  Y	X | Y	X ↓ Y	X  Y	X ≡ Y	1
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
1	0	0	1	0	1	0	0	0	1
1	1	0	1	1	0	0	1	1	1

Есть и другие бинарные операции. Всего бинарных операций - 16.