2001/2002 Учебный год. Вариант 5.
Задача 1. Нaйти наибольший общий делитель многочленов
и
Решение:
применяем алгоритм Евклида. Для этого
на каждом шаге делим многочлен большей
степени на многочлен меньшей степени
в столбик с остатком. Учитываем, что НОД
многочленов определен с точностью до
константы (т.е. многочлены можно умножать
на любую ненулевую константу, от этого
НОД не изменится)
(
;
)=(
;
)=(
;
)=
(
;
)=
Задача 2. Найти все матрицы, коммутирующие с матрицей
Решение:
Составим уравнение:
Получаем a13=0; a23=0; a21=3a33-3a11-a31; a22=a33-3a12-a32.
Задача 3. Доказать, что в пространстве многочленов степени не выше n над полем действительных чисел линейный оператор
имеет
множество собственных значений
,
если
.
Решение.
Выпишем матрицу преобразования
в базисе
.
Она получается верхнетреугольной, на
диагонали у нее стоят числа
.
(Условие
дает то, что все эти числа различны).
Таким образом, характеристический
многочлен получается
.
Откуда и следует требуемое.
2002/2003 Учебный год. Вариант 1.
Задача 1. Найти мнимую часть комплексного числа
.
Решение.
.
Мнимая часть этого числа
.
Задача 2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Решение.
Собственные
числа
.
Ищем собственные векторы.
Поэтому
собственный вектор собственного числа
1
,
где
произвольное число.
Поэтому
собственный вектор собственного числа
1
.
Поэтому
собственный вектор собственного числа
2
.
Задача 3. Найти размерность пересечения линейных подпространств:
,
натянутого на векторы
,
и
,
натянутого на векторы
.
Решение.
Размерности
,
и их суммы искать легче, поэтому найдем
их.
Получаем,
что пространства
и
совпадают. А, следовательно,
.
2002/2003 Учебный год. Вариант 2.
Задача 1. Найти действительную часть комплексного числа
.
Ответ: 512.
Задача 2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Ответ:
;
;
.
Задача 3. Найти размерность пересечения линейных подпространств:
,
натянутого на векторы
,
и
,
натянутого на векторы
.
Ответ.
Нетрудно заметить, что
.
Поэтому
.
2002/2003 Учебный год. Вариант 3.
Задача 1. Найти мнимую часть комплексного числа
.
Ответ.
.
Задача 2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Ответ:
с собственным числом
получаем собственные вектора имеют
вид:
;
при
общий вид собственного вектора
.
Задача 3. Найти размерность пересечения линейных подпространств:
,
натянутого на векторы
,
и
,
натянутого на векторы
.
Ответ:
;
.
Поэтому
.
2002/2003 учебный год. Вариант 4.
Задача 1. Найти действительную часть комплексного числа
.
Ответ.
.
Задача 2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Ответ.
собственные вектора
;
собственные вектора
;
собственные вектора
.
Задача 3. Найти размерность пересечения линейных подпространств:
,
натянутого на векторы
,
и
,
натянутого на векторы
.
Ответ: .
2002/2003 учебный год. Вариант 5.
Задача
1.
Привести к алгебраической форме число
.
Ответ.
Задача 2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Ответ:
собственные векторы имеют вид
.
Задача 3. Найти базисы суммы и пересечения подпространств:
,
натянутого на векторы
,
и
,
натянутого на векторы
.
Ответ.
,
базис
;
базис
.
2003/2004 учебный год. Вариант 1.
Задача 1. Найти базис и размерность линейной оболочки системы векторов
Ответ:
Размерность=3; базис
Задача
2.
Найти жорданову форму матрицы
.
Ответ.
2003/2004 учебный год. Вариант 2.
Задача 1. Найти базис и размерность линейной оболочки системы векторов
Ответ.
Размерность 2; базис
.
Задача
2.
Найти жорданову форму матрицы
.
Ответ.
2003/2004 учебный год. Вариант 3.
Задача 1. Найти базис и размерность линейной оболочки системы векторов
Ответ. Размерность 4; базис можно выбрать .
Задача2.
Найти жорданову форму матрицы
.
Ответ.
2003/2004 учебный год. Вариант 5.
Задача 1. Найти базис и размерность линейной оболочки системы векторов
Ответ.
Размерность 3; базис
.
Задача
2.
Найти жорданову форму матрицы
.
Ответ.
