2000/2001 Учебный год. Вариант 5.
Задача
11.
Привести
квадратичную форму
к каноническому виду и указать линейное
отображение, осуществляющее это
преобразование.
Ответ. Канонический вид квадратичной формы: .
Отображение осуществляется по формулам:
Задача 12. Совпадает с задачей 12 из варианта 4.
2001/2002 Учебный год. Вариант 1.
Задача 1. Найти комплексные корни многочлена
Решение.
Заметим, что 2 корня этого многочлена
.
Поделим многочлен
на многочлен
.
Получаем:
.
Оставшиеся корни находим по формуле
корней квадратного трехчлена
.
Задача
2.
Найти матрицу
и исследовать ее зависимость от параметра
.
Решение. Находим обратную матрицу.
При
определитель матрицы
нулевой и матрица
не имеет обратной. При остальных же
значениях параметра
получается
Задача
3.
Найти жорданову форму матрицы
в зависимости от значений параметра
.
Решение.
Рассмотрим сначала
.
(Т.е.
)
В этом случае у матрицы
единственное собственное число
.
Заметим, что
.
Таким образом, жорданова форма матрицы
– одна жорданова клетка с собственным
числом 2.
Пусть
теперь
.
Тогда у матрицы
два собственных числа: 2 (кратности 2) и
(кратности 1). Вычислим ранг матрицы
.
При
,
при
получаем, что
.
Поэтому:
Ответ:
при
;
при
;
при остальных
2001/2002 Учебный год. Вариант 2.
Задача 1. Найти комплексные корни многочлена
Решение.
Заметим, что
являются корнями этого многочлена.
.
Остальные корни
Задача
2.
Найти пересечение подпространств
и
в
и исследовать зависимость ответа от
параметра
.
Здесь
– линейная оболочка множества
,
B – линейная оболочка множества
Решение.
Ищем пересечение подпространств, исходя
из условия
.
Получаем:
При
получаем
,
поэтому пересечение
и
натягивается
на векторы
и
.
(При
эти вектора совпадают).
При
Получаем
.
И пересечение подпространств
и
натягивается на вектор
.
Ответ:
При
или
;
при
.
Задача
3.
При каких значениях параметра
матрица
подобна диагональной?
Решение.
Заметим, что у матрицы
собственное число
(кратности 3). Вычислим ранг матрицы
.
При
и жорданова форма просто матрица
;
при
и жорданова форма недиагональна (состоит
из 2 жордановых клеток).
2001/2002 Учебный год. Вариант 3.
Задача 1. Найти комплексные корни многочлена
Ответ.
Задача 2. Найти матрицу и исследовать ее зависимость от параметра .
Решение.
Заметим, что при
или
матрица
вырождена и
не существует.
Задача 3. Найти жорданову форму матрицы в зависимости от значений параметра .
Ответ.
при
получается
;
при
получается
при
получаем
2001/2002 Учебный год. Вариант 4.
Задача 1. Найти комплексные корни многочлена
Ответ.
.
Задача 2. Найти пересечение подпространств и в и исследовать зависимость ответа от параметра . Здесь – линейная оболочка множества , – линейная оболочка множества
Ответ.
При
получаем
;
при
;
при
получаем
Задача 3. При каких значениях параметра матрица подобна диагональной?
Ответ: жорданова форма диагональна тогда и только тогда, когда . Решение аналогично задаче 3 варианта 2 этого же года.