1.6.5.6. Метод исследования динамики известерегенерационной печи

Основные уравнения объекта (1.206) относятся к классу квазилинейных дифференциальных урав­нений в частных производных, для которых ли­нейное приближение правой части, полученное в стационарном режиме (1.208), может быть отнесе­но к полной системе уравнений:

Для исследования динамики объекта необходи­мо получить передаточные функции, для чего си­стема уравнений (1.213) преобразуется по Лапла­су. Используя матричную форму записи, получим

	а11 а12 •			4	0 .	.. 0
А =	а21 а22 •	■• a2n	; T =	0	x2.	.. 0
	anl an2 •	•• ann		0 .

p — параметр преобразования Лапласа.

Передаточные функции являются решением си­стемы уравнения (1.214). Аналитическое интегри­рование практически можно выполнить для систем не выше третьего порядка. При этом передаточные функции получаются трансцендентными, вслед­ствие чего использовать их впрямую затруднительно и приходится аппроксимировать их более просты­ми выражениями или степенными рядами. Поэто­му разработан метод получения приближенных передаточных функций [155], не накладывающий ограничений на порядок системы (1.214). Для этого уравнение (1.234) интегрируется по длине участка /:

i

U₁-U₀=(A-pT)jUdx. (1.215) о

Интеграл в правой части системы (1.215) опре­деляется с помощью квадратурной формулы, по­лученной на основе интерполяционных полиномов Эрмита. По этой квадратурной формуле значение интеграла на интервале [0,1] определяется по зна­чениям подинтегральной функции и ее производ­ных на границах интервала

би-

жения материала.

номиальные коэффициенты; значения производных получаются дифференцированием исходного уравнения (1.214).

(1.217)

(1.220)

Е7„

(р)

= W(p)

С учетом разделения граничных переменных на входные и выходные, после довольно громоздких преобразований [155] был получен алгоритм для вычисления значений коэффициентов матричной пе­редаточной функции W(p) в форме степенного ряда:

u_bx{p)

1Щр¹

г=0

Этот ряд при а —> °° сходится к точному значе­нию передаточной функции. Значения коэффици­ентов W. вычисляются по коэффициентам системы уравнений (1.213), заданным в виде матрицА и Т уравнения (1.214). Алгоритм легко реализуется на компьютере.

Для построения переходных процессов по пере­даточной функции, заданной в форме степенного ряда, целесообразно использовать метод [156, 157], по которому ряд по степеням р преобразуется в ряд по степеням другой аналитической функции, обратное преобразование Лапласа—Карсона кото­рой приводит к оригиналам в форме полиномов Лягерра.

Переходная функция при этом имеет вид

(1.218)

h_k(t) = d₀+e-^k*^y£d_nL_n_₁ (Xt),

n = l

где L — ортогональные полиномы Лягерра при t [О, °°]; X — вещественный параметр; d_Q =

n-l

d_n= Y ^cn-lW_n-_mXⁿ-^m, п>1, c^_! - биномиаль­но

ный коэффициент.

'k-l

Х =

За параметр А. рекомендуется взять отношение предпоследнего коэффициента ряда (1.217) к по­следнему [157]:

(1.219)

W,

Полиномы Лягерра вычисляются по рекуррент­ной формуле, что делает программу весьма ком­пактной. Практикой расчетов установлено, что для достижения пренебрежимо малой погрешности до­статочно использовать не более 10... 12 членов ряда.

Выражение (1.218) хорошо аппроксимирует пе­реходные функции устойчивых систем. Некоторое затруднение обнаруживается на начальном участ­ке переходной функции у систем с транспортным запаздыванием:

W(p) = e-^F{p),

Эффективным приемом повышения точности аппроксимации является выделение известного за­паздывания т. При этом значения коэффициентов разложения передаточной функции, не содержащей запаздывания, равны

■W,

m-k'

(1.221)

£=0

Расчет переходных функций по этой методике [151] показал, что матричная передаточная функ­ция W(p) имеет четыре характерных подматрицы (рис. 1.122):

• подматрица I — входные и выходные пере­менные связаны с потоком материала; переходные функции содержат транспортное запаздывание;

• подматрица 77 — входные переменные связа­ны с газовым трактом, выходные — с материалом; запаздывания нет, переходная функция может иметь небольшой скачок при t = 0;

• подматрица III — входные и выходные пере­менные связаны с газовым трактом; запаздывания нет, при t = 0 у переходной функции большой ска­чок (приближается к установившемуся значению);

• подматрица IV — входные переменные свя­заны с материалом, а выходные — с газом; может иметь место или малое переходное запаздывание, или небольшой скачок.

В каждой подматрице объединены переходные функции одного вида, но в элементах подматрицы они различаются своими параметрами и иногда знаками.

И з рис. 1.122 видно, что общим свойством всех переходных функций является их монотонность. Это подтверждается и представленными на рис. 1.120 графиками полученных эксперименталь­но переходных функций известерегенерационной печи [150].

Для исследования динамики объектов управле­ния часто используется импульсная переходная функция. Выражение ее через полиномы Лягерра имеет вид

w(t) = e-^XtYd^L_n_₁(Xt). (1.222)

Вычислять ее можно по программе, составлен­ной для формулы (1.218) при смещении исходной последовательности коэффициентов W_t по схеме [151]:

Wq W₂ W₃ ... — для вычисления h(t);

О Wq W₂ ••• — для вычисления w(t).

Располагая импульсными переходными функци­ями, можно определить реакцию объекта на вход­ное воздействие произвольной формы:

^ukвых М=£К (*)вх (' ~ ^ ^ - 1, 2, ..., П.

i=l о

(1.223)

Система уравнений (1.223) является линейной моделью динамики вращающейся печи во времен-

й области. Она может быть использована для прогнозирования выходных переменных при вход­ных, полученных с объекта в реальном времени протекания технологического процесса.